A formal solution of differential equations by series of functions. (Q568766)

Mit Benutzung einer konzentrierten Symbolik, bei der \(p,P\) die Bedeutung \(-\frac \partial {\partial q},\frac \partial {\partial Q}\) haben und demgemäß z. B. \(e^P\varphi (Q)\) soviel bedeutet wie \[ \sum \frac 1{n!}\frac {\partial ^n\varphi (Q)}{\partial Q^n}=\varphi (Q+1), \] wird folgender Satz aufgestellt: Wenn \(\varphi (Q)\) der linearen Differenzengleichung \[ K(Q,e^P)\varphi =0 \] genügt, und wenn \(\chi (q,Q)\) den beiden Gleichungen \[ [R(q,P)-Q]\chi =0,\quad [S(q,p)-e^P]\chi =0 \] genügt, dann ist die Reihe \[ \psi (q)=\sum \chi (q,Q)\varphi (Q), \] über eine passende Folge von \(Q\)-Werten summiert, eine Lösung der Differentialgleichung \[ K\{R(q,p),S^{-1}(q,p)\}\psi =0. \] Als Spezialfälle dieses allgemeinen Satzes werden dann bekannte Formeln über \textit{Bessel}sche, \textit{Legendre}sche und ähnliche Funktionen nachgewiesen, z. B. die Formel \[ e^{iz\sin \zeta }=\sum I_n(z)e^{in\zeta }. \]