Über eine integrallose Lösung einer Diophantischen Differentialgleichung. (Q568813)

Die Differentialgleichung \[ \frac {\partial w_1}{\partial x_1}+\cdots +\frac {\partial w_n}{\partial x_n}=0 \] hat offenbar die Lösung \(w_\nu =\frac {\partial \varphi _\nu }{\partial x_{\nu +1}}-\frac {\partial \varphi _{\nu -1}}{\partial x_{\nu -1}}\), wo die \(\varphi _\nu (x_1,\dots,x_n)\) beliebige, zweimal stetig differenzierbare Funktionen sind. ``Es sei vorausgesetzt: a) daß \(J(x_1,\dots,x_n)\) im Gebiet \(G\) des \(n\)-dimensionalen Raumes stetige Ableitungen erster Ordnung besitzt und am Rande von \(G\) Null ist.; b) daß \(n\) stetige Funktionen \(u_k(x_1,\dots,x_n)\) in \(G\) die Relationen \[ \int \underset {G} {\dots }\int \sum _{\nu =1}^n\frac {\partial J}{\partial x_\nu }u_\nu dx_1\dots dx_n=0 \] erfüllen. \dots Dann sind \(w_k=u_k\;(k=1,\dots,n)\) eine integrallose Lösung von (1).'' Gegenbeispiel: \(G\) sei der Würfel \(|x_\nu |\leqq \pi, J=(1+\cos x_1)\cdots (1+\cos x_n), u_\nu =\cos x_\nu \).