Applications of prolate spheroidal harmonics. (Q568836)

Verf. behandelt physikalische Fragen, bei denen ein gestrecktes Dreh-Ellipsoid \(\mathfrak E\) in Betracht kommt; er setzt Spiegeligkeit hinsichtlich der Achse \(\mathfrak z\) von \(\mathfrak E\) voraus. Als Bezugsgrößen verwendet er die bekannten ellipsoidischen Koordinaten \(\mu,\nu \); ein fester Wert der zweiten bezeichnet ein bestimmtes Ellipsoid \(\mathfrak E_1\). Die zugehörigen harmonischen Funktionen sind \[ \varphi = \sum _{n=0}^\infty a_nP_n(\mu )Q_n(\nu ) \text{ bzw. } \varphi =\sum _{n=0}^\infty a_nP_n(\mu )P_n(\nu ), \] wo die \(a_n\) fest, \(P_n,Q_n\) die \textit{Legendre}schen Funktionen erster und zweiter Art sind. So entwickelt sich z. B. der Kehrwert \(R_2^{-1}\) des Abstandes \(AB_2\) eines Punktes \(A(\mu,\nu )\) und eines Punktes \(B_2(-1,\nu _2)\) von \(\mathfrak z\). Allgemein gestellt Verf. jeder Potentialfunktion \(\varphi \) eine Stromfunktion \(\psi \) zu. In dieser Art gehören z. B. zusammen \[ \varphi =\frac {a}{R_2},\qquad \psi =a\frac {\partial R_2}{\partial z}, \] wo \(a\) ein mit der Erklärung der \(\mu,\nu \) zusammenhängender Festwert ist; \(\psi \) läßt sich nach Produkten der Ableitungen \textit{Legendre}scher Funktionen entwickeln. Elektrostatische Anwendungen: Leitendes, auf das Potential \(V_1\) geladenes Ellipsoid \(\mathfrak E_1(\nu _1)\); das Potential ergibt sich zu \[ V=V_1\frac {Q_0(\nu )}{Q_0(\nu _1)}. \] Auf \(\mathfrak E_1\) wirkt a) ein zu seiner Achse \(\mathfrak z\) paralleles elektrisches Feld; b) eine Ladung \(-E\) in einem äußeren Punkte \(B_2\) von \(\mathfrak z\). Lösung im Falle b): \[ V=\frac Ea\sum _{n=0}^\infty (-1)^n(2n+1)P_n(\mu )Q_n(\nu _2) \left (\frac {P_n(\nu _1)}{Q_n(\nu _1)}Q_n(\nu )-P_n(\nu )\right ).- \] Fall der Entartung von \(\mathfrak E_1\) in einen Stab. - Hohlraum \(\mathfrak E_1\) unter dem Einfluß einer Punktladung in einem inneren Punkte von \(\mathfrak z\). - Verf. schließt mit einer hydrodynamischen Aufgabe: Das von einer Flüssigkeitsquelle \(B_2\) erzeugte Feld wird von einem Ellipsoid gestört, dessen Achse außen durch \(B_2\) geht.