Ancora sulla forma generale di un processo stocastico omogeneo. (Q568905)

Verf. setzt seine Untersuchungen über die allgemeine Form eines homogenen stochastischen Vorganges fort (vgl. Verf. 1932; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 552). Die dort gebrauchte Funktion \(F(x)\) bringt er mit der Wahrscheinlichkeit \(P_2(x)d\lambda \) für positive Sprünge von \(X(\lambda )\) im Zeitelement \(d\lambda \), die größer als \(x>0\), und mit der Wahrscheinlichkeit \(P_1(x)d\lambda \) für negative Sprünge, die kleiner als \(x<0\), in Beziehung und gewinnt durch Einführung der Funktion \[ \begin{align*}{\Omega (x)=F(x)\hskip 23pt &, \quad x\leq 0 \cr \Omega (x)=F(x)-\sigma _0^2 &, \quad x>0, \cr }\end{align*} \] (\(\sigma _0^2\) = Sprung von \(F(x)\) in \(x=0\)) die Fundamentalformel: \[ \log \psi _1(t)=im_1t-\frac {\sigma _0^2t^2}{ 2}+\int _{-\infty }^{\infty } p(x,t)\,d\Omega (x). \] Schließlich beweist er, daß\ die vom ihm in der erwähnten Note gegebenen Formeln für jedes linksstetige nicht fallende \(F(x)\) mit \(F(-\infty )=0\), \(F(+ \infty )=\sigma _1^2<+ \infty \) eine Lösung des Problems liefern.