Sur la convergence des probabilités en chaîne. (Q568911)

Ein sprunghaft veränderliches physikalisches System kann sich nur in einer endlichen Anzahl von Zuständen \(E_1, E_2\), \dots, \(E_r\) befinden. Es sei \(P_{jk}^{(n)}\) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß\ das System in \(n\) Sprüngen aus dem Zustand \(E_j\) in den Zustand \(E_k\) übergeht. Es liegt also eine \textit{Markoff}sche Kette vor. Die \(P_{jk}^{(n)}\) sind die Elemente der \(n\)-ten Potenz der Matrix \(p_{jk}=P_{jk}^{(1)}\). Die \(P_{jk}^{(n)}\) brauchen für \(n\rightarrow \infty \) nicht zu konvergieren, wohl aber konvergieren die arithmetischen Mittel \[ \Pi _{jk}^{(n)}=\frac {1}{ n}\left ( P_{jk}^{(1)}+P_{jk}^{(2)}+ \dots + P_{jk}^{(n)}\right ) \] \textit{immer}. Der verallgemeinerte Konvergenzbegriff von \textit{Cesàro} ist also auf die \(P_{jk}^{(n)}\) anwendbar. \(\Pi _{jk}^{(n)}\) ist der Erwartungswert der relativen Häufigkeit \(f_{jk}^{(n)}\) des Zustandes \(E_k\) in einer Folge von \(n\) aufeinander folgenden Zuständen, sofern sich das System vor dem ersten Sprung im Zustand \(E_j\) befunden hatte. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ die \(\Pi _{jk}=\lim \Pi _{jk}^{(n)}\) unabhängig vom Anfangszustand \(E_j\) sind, ist, daß\ die charakteristische Wurzel \(+1\) der Matrix \(\{ p_{jk}\}\) einfach ist. \textit{Halbregulär} heißt der Fall, in dem die \(P_{jk}^{(n)}\)einen Limes \(P_{jk}(=\Pi _{jk})\) haben, \textit{regulär} der Fall, in dem die \(P_{jk}^{(n)}\)einen Limes \(P_k\) unabhängig vom Anfangszustand \(E_j\) haben. (Der Begriff \textit{halbregulär} ist in späteren Arbeiten vom Verf. anders definiert worden.) Notwendig und hinreichend für den halbregulären Fall ist, daß\ \(+1\) die einzigen charakteristischen Wurzeln der Matrix \(\{ p_{jk}\}\) vom Betrage 1 sind. Weitere Aussagen betreffen die Streuung von \(f_{jk}^{(n)}\). \(P_{jk}^{(n)}\) ist \textit{immer} die Summe zweier Glieder, deren eines mit \(n\rightarrow \infty \) gegen eines Limes \(\Pi _{jk}\) strebt, während das andere periodisch immer wieder dieselben Werte annimmt.