Solution continue la plus générale d'une équation fonctionnelle de la théorie des probabilités ``en chaîne''. (Q568913)

Gegenstand der Arbeit ist die Untersuchung der früher schon von \textit{Kolmogoroff} und \textit{Hostinský} behandelten Funktionalgleichung \[ \varphi _{ik}(s,t)=\sum _{j=1}^r \varphi _{ij}(s,u)\varphi _{ij}(u,t)\quad (i, k=1, 2, \dots, r; s\leq u\leq t). \tag{1} \] Sie spielt eine wesentliche Rolle in der Theorie der \textit{Markoff} schen Ketten mit stetiger Zeit. Die Determinante \(D(s, t)\) der \(\varphi _{ik}(s, t)\) genügt der Gleichung (1) mit \(r=1\), die zunächst untersucht wird. Die allgemeinste stetige, nicht identisch verschwindende \[ D(s, t)=\frac {A(t)}{ A(s)}, \] wo \(A(s)\) eine willkürlich gewählte positive, stetige Funktion ist. In einer Zusatznote werden auch unstetige Lösungen in Betracht gezogen. Im Fall eines beliebigen \(r\) ergibt sich: Die allgemeinste stetige Lösung der Gleichung (1) unter der weiteren Bedingung \[ \varphi _{ik}(s,s)= \begin{cases} 1 & \text{für } i=k, \\ 0 & \text{für } i\not =k \end{cases} \tag{2} \] ist darstellbar in der Form \[ \varphi _{ik}(s,t)=\sum _j\alpha _{ij}(s)\beta _{kj}(t), \] wo die \(\alpha _{ij}(s)\) und \(\beta _{kj}(t)\) stetige Funktionen sind, die die ein beliebig gewähltes normiertes Biorthogonalsystem bilden. Weiter wird das asymptotische Verhalten der Lösungen für \(t\rightarrow \infty \) untersucht. Schließlich wird angegeben, wie sich die bei Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung nötigen Bedingungen \[ \sum _k \varphi _{jk}(s,t)=1,\quad \varphi _{jk}(s,t)\geq 0 \] auswirken. In einer unmittelbar anschließenden ergänzenden Arbeit (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 507) werden die erhaltenen Ergebnisse zu denen von \textit{Kolmogoroff} (1931; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 613) in Beziehung gesetzt, wobei sich Verf. auf differenzierbare Lösungen beschränkt.