On the probability that two independent distributions of frequency are really samples from the same parent population. (Q568977)

Die zu prüfenden beiden Versuchsreihen und ihre eventuelle gemeinsame Ausgangsvertei\-lung mögen in \(v\) Kategorien zerfallen. Die Anzahlen seien: \[ \begin{aligned} &\text{1. Probe}\qquad n_1 \dots, n_s \dots, n_v;\quad \sum _{s=1}^v = N, \\ &\text{2. Probe}\qquad n'_1 \dots, n'_s \dots, n'_v; \quad \sum _{s=1}^v = N'. \end{aligned} \] Die unbekannten Anteile im Ausgangskollektiv seien: \[ p_1 \dots p_s \dots p_v;\quad \sum _{s=1}^v = 1. \] Soll geprüft werden, ob beide Reihen einem gemeinsamen Kollektiv entstammen könnten, so ist die Größe \[ \chi ^2 = \frac {NN' }{ N + N'}\;\sum _{s=1}^v \Bigl (\frac {n_s }{ N}-\frac {n'_s }{ N'}\Bigr ) \cdot \frac {1 }{ p_s} \] zu bilden, in der die unbekannten \(p_s\) auftreten. Früher hat der Verf. die Abschätzung \(p_s \sim \frac {n_s + n'_s }{ N + N'}\) vorgeschlagen. Jetzt fragt er nach derjenigen Verteilung, welche die größte Wahrscheinlichkeit für sich hat, als gemeinsamer Ursprung der beiden Versuchsreihen zu gelten. Für die wird \(\chi ^2\) zum Minimum mit den Nebenbedingungen \(p_s \geq 0,\;\sum _{s=1}^v p_s = 1\). Verf. vermag diese wichtige Aufgabe höchst einfach zu lösen. Sein Ergebnis lautet: \[ p_s = \Bigl |\frac {n_s }{ N} - \frac {n'_s }{ N'}\Bigr | :S,\quad \chi _{\text{min}}^2 = \frac {NN' }{ N + N'}S^2 \quad \text{mit}\quad S = \sum _{s=1}^v \Bigl | \frac {n_s }{ N} - \frac {n'_s }{ N'}\Bigr |. \] Anschließend wird der Fall behandelt, daß\ gleichzeitig zwei Merkmale zur Beobachtung kommen, die ihrerseits beide in Kategorien zerfallen.