A postulate for observations. (Q568988)

Das \(k\)-te Moment um den Erwartungswert sei mit \(\mu _k\) bezeichnet. Bei einer \(n\)-gliedrigen Stichprobe erhält man den Erwartungswert nur mit einer gewissen Unsicherheit, die auch auf die Momente übergreift. Wird die \(n\)-gliedrige Stichprobe vierfach wiederholt, so ergeben sich für die Momente Durchschnittswerte \(\overline {\mu }_k\), die von den aus der ersten Probe gefundenen Werten \(\mu _k\) abweichen. Verf. findet die folgenden Beziehungen: \[ \overline {\mu }_2 = \frac {n}{n-1} \mu _2, \quad \overline {\mu }_3 = \frac {n^2}{(n-1)(n-2)} \mu _3, \quad \overline {\mu }_2 \overline {\mu }_4 - \overline {\mu }_3^2 - \overline {\mu }_2^3 = \frac {n^2}{(n-1)(n-2)} (\mu _2 \mu _4 - \mu _3^2 - \mu _2^3). \] Die erste ist allgemein bekannt, die zweite stammt von \textit{Thiele}, die dritte ist in dieser Form neu. In gleicher Weise findet Verf. für die \textit{Pearson}schen Konstanten \(\beta _1 = \mu _3^2:\mu _2^3\) und \(\beta _2 = \mu _4:\mu _2^2\) die Gleichungen: \[ \overline {\beta }_1 = \frac {n(n-1)}{(n-2)^2} \beta _1, \quad \overline {\beta }_2 - \overline {\beta }_1 - 1 = \frac {(n-1)^2}{n(n-2)} (\beta _2 - \beta _1 - 1). \]