Di alcuni valori approssimati del tasso di una rendita certa. (Q569034)

Verf. entwickelt ein neues Verfahren zur angenäherten Bestimmung des Zinsfußes \(i\) aus dem Barwert einer \(n\)-jährigen Rente \[ a_{\overline n |} = \frac {1-(1+i)^{-n}}{i}. \] Die Tatsache, daß\ das arithmetische Mittel positiver Zahlen größer als das harmonische ist, liefert einen ersten (zu kleinen) Näherungswert \[ 1 + i \simeq \frac {a_{\overline n |} + 1}{a_{\overline n |} + \Bigl (\frac {a_{\overline n |}}{n}\Bigr )^2}, \] aus dem Verf. auf verschiedenen Wegen noch bessere Näherungslösungen ableitet. Die Berücksichtigung der Tatsache, daß\ das quadratische Mittel positiver Zahlen größer als das arithmetische ist, führt zur Abschätzung: \hskip 30pt \(\frac {1 - \bigl ( \frac {a_{\overline n |}}{n} \bigr )^2}{a_{\overline n |} + \bigl ( \frac {a_{\overline n |}}{n} \bigr )^2} < i < \frac {2}{n + 1} \cdot \Bigl (\frac {n}{a_{\overline n |}} - 1 \Bigr ) < \frac {1}{a_{\overline n |}}, \quad {\text{wenn}} \quad a_{\overline n |} > \frac {n-1}{2},\) \hskip 30pt \(\frac {1 - \bigl ( \frac {a_{\overline n |}}{n} \bigr )^2}{a_{\overline n |} + \bigl ( \frac {a_{\overline n |}}{n} \bigr )^2} < i < \frac {1}{a_{\overline n |}} \quad {\text{sonst}}\) (im Original enthalten diese Formeln einen Druckfehler im Nenner), die der von \textit{Barriol} (Théorie et pratique des opérations financières, Paris 1908, 149-150) angegebenen gröberen \[ \frac {1}{a_{\overline n |}} - \frac {1}{n} < i < \frac {1}{a_{\overline n |}} \] vorzuziehen ist.