Approximation and graduation according to the principle of least squares by orthogonal polynomials. (Q569165)

Verf. gibt eien ausführliche Darstellung seiner Methode der Trendberechnung eines durch \(N\) äquidistante Werte gegebenen Funktionsverlaufes mittels orthogonaler Polynome. Nach Ableitung der weiterhin gebrauchten Formeln der Differezenrechnung leitet er auf ähnliche Art, wie das bei den \textit{Legendre}schen Polynomen üblich ist, die Ausdrücke für die benutzen Polynome und die für die Berechnung der Koeffizienten der nach der Methode der kleinsten Quadrate besten Entwicklung erforderlichen Formeln ab. In diesen Formeln treten die mittleren Binomialmomente auf, für deren Berechnung die hier sehr allgemein abgeleitete Methode von \textit{Tschetwerikoff} benutzt wird. Aus diesen Momenten werden die mittleren Orthogonalmomente unter Verwendung von Faktoren abgeleitet, deren Zahlwerte in einer Tabelle gegeben sind. Mittels dieser mittleren Orthogonalmomente drücken sich auch die mittleren Abweichungsquadrate der Näherungen einfach aus. Die Näherungen werden dann duch eien \textit{Newton}sche Formel dargestellt. Die in dieser auftretenden Differenzen lassen sich sehr einfach aus den Orthogonalmomenten berechnen. Nimmt man weitere Ordinaten hinzu, ergeben sich die neuen Differenzen aus den alten durch eine einfache Korrektur. Hat man diese Differenzen berechnet, so bestimmt man die Näherungswerte zu den gegebenen Daten einfach durch Aufaddieren in einem Differenzenbschema. An drei Beispielen wird die Anwendung der Formeln erläutert. Weiter zeigt Verf., wie die Korrelationskoefizienten \[ r_{mn} = \frac {1}{N\sigma _n\sigma _n'} \sum _{x=a}^b \left (f_n(x)-y\right ) \left (f'_m(x)-y'\right ) \] zwischen den Abweichungen der Näherungsparabel \(n\)-ten Grades \(f_n(x)\) von den gegebenen Werten \(y\) und der einer Näherungsparabel \(f_m'(x)\) von anderen Werten \(y'\), sowie der zwischen der Abweichung zweier Näherungsparabeln \(f_n(x) - f_\nu (x)\) der Werte \(y\) und zwischen \(f_m'(x) - f_\mu '(x)\), wo \(f_m'(x)\) und \(f_\mu '(x)\) zwei Näherungsparabeln verschiedenen Grades zu \(y'\) sind, sich sehr einfach durch die entsprechenden mittleren Orthogonalmomente ausdrücken lassen. Nachdem die Eigenschaften der benutzten Orthogonalfunktionen untersucht, unter anderem ihre Symmetrie nachgewiessen, eine Rekursionsformel aufgestellt und die für die Funktionen geltende lineare Differenzengleichung zweiter Ordnung abgeleitet sind, wird gezeigt, wie die Näherungsparabeln sich zum Glätten äquidistanter Beobachtungsreiben benutzen lassen. Zum Schluß wird eine Übersicht über die den gleichen Gegenstand behandelnden Arbeiten von \textit{Tschebyscheff}, \textit{Gram}, \textit{Jordan}, \textit{Esscher} und \textit{Lorentz} gegeben und es werden zehnstellige Tafeln für die Konstanten beigefügt, die bei der Umrechnung in die Differnezen auftreten, die in der \textit{Newton}schen Formel benutzt werden, sowie Tafeln der Binomialkoeffizienten \({x\choose n}\) für Werte von \(x\) bis 55 und \(n\) bis 10.