Un nuovo campo di ricerche nella geometria sopra una superficie e sopra una varietà algebrica (Q569515)

Verf. setzt seine vorstehend besprochenen Untersuchungen über Äquivalenzscharen fort. Zunächst wird diese Theorie auf reduziblen algebraischen Kurven begründet; eine Äquivalenzschar wird auf einer solchen \(C\) von einem linearen Formensystem des umgebenden Raumes ausgeschnitten, das \(C\) nich enthält. Die Schwierigkeiten dieses Begriffs kann man sich an der Schnittschar aller Ebenen des \(R_3\) mit einem windschiefen Geradenpaar \(C\) klarmachen. Zu jeder \(g^r_n\) gibt es ein assoziiertes Linearsystem von Formen, das die gleiche Dimension hat, und durch jede allgemeine Gruppe der Schar genau eine Form schickt. Der Begriff der Äquivalenzschar ist invariant gegenüber birationalen Transformationen der \(C\). Jede Äquivalenzschar läßt sich in eine Vollschar einbetten; der Fundamentalsatz besagt, daß\ die letztere durch Zusammensetzen von Gruppen aus Vollscharen auf den irreduziblen Komponenten von \(C\) entsteht. Daraus folgt, daß\ eine unirationale Schar von Punktgruppen auf \(C\), deren Gruppen sich also rational durch \(r\) Parameter kennzeichnen lassen, aus lauter äquivalenten Punktgruppen besteht. Auch der \textit{Riemann}-\textit{Roch}sche Satz läßt sich auf diese Scharen übertragen; besteht \(C\) aus \(s\) irreduziblen Kurven der Geschlechter \(p_1,\dots,p_s\), so nennt ma nach \textit{Noether} \[ p=p_1+p_2 +\dots + p_s - s+1 \] das Geschlecht von \(C\); die Dimension einer nichtspeziellen Vollschar \(g^r_n\) ist dann \[ r=n-p-s+1; \] speziell ist eine \(g^r_n\), wenn eine ihrer Teilscharen auf \(C_1\dots C_s\) speziell ist; im Gegensatz zur Theorie auf irreduziblen Kurven können spezielle Scharen beliebig großes \(n\) und \(r\) haben; nur für die gänzlich speziellen Scharen, bei denen alle Teilscharen speziell sind, gilt \(n \leq 2p-2\), \(r\leq p-1\). Mittels der adjungierten Kurven kann man diesen Sätzen projektive Form geben. Auf einer Fläche \(F\)-heißt eine Schar von Punktgruppen eine Äquivalenzschar, wenn irgend zwei ihrer Gruppen stets eine \(g^1_n\) auf einer Kurve \(C\) auf \(F\) angehören; ist eine solche Schar rational, so heißt sie eine Hauptschar; solche sind insbesondere die vollständigen Schnittscharen zweier linearer Kurvensysteme. Es gilt umgekehrt der Hauptsatz, daß\^^Mjede die Fläche erfüllende rationale Schar von Punktgruppen in einer Hauptschar gleicher Ordnung enthalten ist, die vollständiger oder teilweiser Schnitt zweier linearer Kurvensysteme ist. Etwas weitergehend ist jede solche unirationale Schar in einer unirationalen Äquivalenzschar gleicher Ordnung enthalten. Mittels solcher Scharen gewinnt man zwei neue Invarianten \(s_1,s_2\) von \(F\), wobei \(s_1+1\) bzw. \(s_2+1\) die kleinstmögliche Zahl willkürlich vorgebbarer Punkte auf \(F\) ist, die eine lineare bzw. Hauptschar gleicher Ordnung auf \(F\) bestimmen. Für die Regelflächen vom Geschlecht \(p\) ist \(s_1=0\), \(s_2 = p\). Zum Schluß\ gibt Verf. eine neue Darstellung der \textit{Severi}schen invarianten Schar: Ist \(A\) ein lineares Kurvenbüschel auf \(F, J\) seine \textit{Jacobi}sche Punktgruppe, so ist diese Schar gegeben durch \[ |J-(A,A)-2(A,A')| \] und hat die Ordnung: \(4\) + \textit{Zeuthen}-\textit{Segre}-Invariante.