Sulle condizioni per la regolarità di un sistema lineare di forme (Q569539)

Ein beliebiges lineares System \((F^n_r)\) von Hyperflächen \(n\)-ter Ordnung im \((r+1)\)-dimensionalen Raume habe die reelle Dimension \(d^{(r)}_n\); das zugehörige vollständige System \(|F^n_r|\) habe die virtuelle Dimension \(\delta ^{(r)}_n\); die Differenz \(\omega ^{(r)}_n=d^{(r)}_n-\delta ^{(r)}_n\) wird als die Abweichung (``scarto'') des linearen Systems \((F^n_r)\) bezeichnet. Die gegebene Basismannigfaltigkeit des Systems \(|F^n_r|\) definiert weitere vollständige Systeme \[ |F^{n+1}_r|, |F^{n+2}_r|,\dots \] mit wachsenden Ordnungen und derselben Vielfachheit. Nach \textit{Bertini} (Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi, 2. ed. 1923; F. d. M. 49, 484 (JFM 49.0484.*)) heißt das System \(|F^n_r|\) regulär, wenn in der Folge \(|F^1_r|\), \(|F^2_r|,\dots \) die Abweichungen \(\omega ^{(1)}_r, \omega ^{(2)}_r,\dots \) vom oberen Zeiger \(n\) an sämtlich null sind. In der vorliegenden Arbeit wird die folgende rekurrente Definition ausgesprochen: Das System \(|F^n_r|\) heißt regulär, wenn alle Systeme \[ |F^{n+1}_r|, |F^{n+2}_r|,\dots \] eine beliebige Hyperebene in vollständigen und regulären linearen Systemen schneiden; auf einer Geraden, d. h. für \(r=0\), ist jede lineare Schar regulär. Es wird hier bewiesen, daß\ diese neue Definition für \(r=1\) mit der alten, oben angegebenen übereinstimmt und daß\ ferner für beliebiges \(r\) derfolgende Satz gilt: Dann und nur dann ist das System \(|F^n_r|\) im Sinne der neuen Definition regulär, wenn die Abweichungen der linearen Systeme, in denen \(|F^{n+1}_r|\), \(|F^{n+2}_r|,\dots,|F^{n+r}_r|\) von je einem beliebigen \(S_r,S_{r-1},\dots,S_1\) des \(S_{r+1}\) geschnitten werden, sämtlich null sind. - Es werde noch bemerkt, daß\ die neue Definition für \(r=2\) mit der von \textit{Castelnuovo} (1897; F. d. M. 28, 560 (JFM 28.0560.*)) ausgesprochenen identisch ist.