Un problème de géométrie infinitésimale (Q569555)

Es handelt sich um eine vom \textit{Bricard} für die Erdoberfläche gestellte Aufgabe: Welches ist die Länge des kürzesten Weges in einem Bereich mit der Eigenschaft, daß\^^Mer an jedem Punkt des Bereichs in einem Abstand \(\leq \alpha \) vorbeiführt? Verf. stellt sich das Problem für einen ebenen Bereich, unter Beschränkung jedenfalls auf einfache rektifizierbare \textit{Jordan}kurven. Zuerst werden einige Sätze über Kurven mit beschränkter mittlerer Krümmung (s. u.) hergeleitet, in denen Resultate von \textit{Schwarz}, \textit{A. Schur}, \textit{Carathéodory} und \textit{E. Schmidt} über Raumkurven, die mit dem \textit{Delaunay}schen Problem der Variationsrechnung zusammenhängen, für den ebenen Fall enthalten sind (vgl. \textit{Blaschke}, Vorlesungen über Differentialgeometrie I, 3. Aufl. (1930; F. d. M. \(56_{\text I}\), 588), S. 65). Dann wird das Gebiet betrachtet, das ein Kreis mit dem Radius \(\alpha \) überstreicht, dessen Mittelpunkt sich längs einer \textit{Jordan}kurve \(C\) der Länge \(L\) bewegt. Es wird gezeigt, daß\ es einen Flächeninhalt \(\Delta \) besitzt und daß\^^M \[ \Delta \leq 2\alpha L + \pi \alpha ^2 \;\text{bzw.} \;\Delta \leq 2\alpha L \] ist, je nachdem die Kurve offen oder geschlossen ist. Das Gleichheitszeichen gilt jedenfalls, wenn \(C\) überall eine vordere Halbtangente besitzt, wenn der Betrag ihrer mittleren Krümmung - d. h. des Differenzenquotienten des Richtungswinkels der Halbtangente nach der Bogenlänge - \(\leq \frac 1{\alpha }\) ist und wenn zu jedem Bogen \(\geq \alpha \pi \) von \(C\) eine Sehne \(\geq 2\alpha \) gehört. Schließlich werden Bereiche betrachtet, die man auf diese Weise wirklich mit einer minimalen Kurve ``ausfegen'' kann, sei es durch Hin- und Her-Wischen oder durch Beschreibung einer Spirale.