Sur la relation qui existe entre un arc de courbe et l'angle sous lequel on le voit de son origine (Q569580)

\(C\) sei eine beliebige Kurve auf einer Fläche und \(P\) ein Punkt von \(C\). Die geodätische Linie durch \(P\), die mit der Tangente von \(C\) in \(P\) den Winkel \(\alpha \) bildet, möge \(C\) in einem weiteren Punkt \(Q\) treffen. Verf. sagt, der Bogen \(PQ\) erscheine von \(P\) aus unter dem Winkel \(\alpha \). \(l\) sei die Länge des Bogens \(PQ\). Dann hängt der Winkel \(\alpha \) von \(P\) und \(l\) ab. Verf. untersucht Kurven \(C\) mit der Eigenschaft, daß\ \(\alpha \) unabhängig vom Ausgangspunkt \(P\) ist. Auf den Flächen konstanter Krümmung und nur auf diesen gibt es durch jeden Punkt in jeder Richtung derartige Kurven, es sind die geodätischen Kreise. Es wird ferner gezeigt, daß, falls es auf der Fläche überhaupt eine Kurve der genannten Eigenschaft gibt, die Fläche auf eine Rotationsfläche abwickelbar ist und daß\ es dann unendlich viele derartige Kurven gibt, nämlich die den Parallelkreisen der Rotationsfläche entsprechenden. Zur selben Klasse von Flächen und den gleichen Kurven \(C\) gelangt man auch, wenn man fordert, daß\ die beiden Winkel, unter denen die beiden Hälften des Bogens \(PQ\) vom Mittelpunkt aus erscheinen, bzw. unter denen \(PQ\) von den beiden Endpunkten aus erscheint, dem absoluten Betrage nach gleich sind. Setzt man voraus, daß\ die Länge \(l\) des Bogens \(PQ\) gleich dem Produkt aus einer Funktion des Winkels \(\alpha \) und einer Funktion der krummlinigen Abszisse von \(P\) auf \(C\) ist, so erhält man die Klasse der Flächen, die auf Spiralflächen abwickelbar sind. Die Ergebnisse lassen sich auf höhere Dimensionen verallgemeinern, z. B. sind im euklidischen dreidimensionalen Raum die gewöhnlichen bzw. die konischen Schraubenlinien die einzigen Kurven \(C\) mit den genannten Eigenschaften.