Topologische Fragen der Differentialgeometrie. 40: Zur Theorie der Funktionen zweier komplexen Veränderlichen (Q569585)

\textit{W. Blaschke} (1929; F. d. M. \(55_{\text I}\), 390) hat auf den Zusammenhang zwischen Gewebegeometrie und Funktionentheorie in zwei komplexen Veränderlichen hingewiesen. Die Invariantentheorie eines Systems von Funktionen \(\varphi _i (z,r;\bar z,\bar r)\) wo \(\bar z\) die zu \(z\) konjugiert komplexe Zahl bedeutet, bzw. eine Gleichung \(\varphi (z,r; \bar z, \bar r) =0\) gegenüber Transformationen \[ \begin{cases} z^* = z^* (z,r), \;\bar z^* = \bar z^* (\bar z, \bar r), \\ r^* = r^* (z,r), \;\bar r^* = \bar r^* (\bar z, \bar r) \end{cases} \tag{1} \] ist äquivalent mit der Invariantentheorie des Systems reeller Funktionen \(\psi _i (u,v;a,b)\) bzw. der Gleichung \(\psi (u,a;v,b) = 0\) gegenüber den reellen Transformationen \[ \begin{cases} u^*=u^*(u,v), \;a^*=a^*(a,b),\\ v^*=v^*(u,v), \;b^*=b^*(a,b). \end{cases} \tag{2} \] Verf. leitet die Invarianten (im kleinen) in der zweiten Problemstellung ab, und zwar 1) bei zwei Funktionen \(\varphi (u,v;a,b)\) und \(\psi (u,v;a,b)\); 2) bei einer Funktion \(\varphi (u,v;a,b)\); 3) bei einer Gleichung \(\varphi (u,v;a,b)=0\), wobei \(\varphi,\psi \) und die Transformationen (2) als analytisch vorausgesetzt werden. In den Fällen 1) und 2) werden vier geeignete Differentialoperatoren aufgestellt und aus den Koeffizienten der Klammerausdrücke die Invarianten des zugehörigen Gewebes abgeleitet; aus diesen folgen die Invarianten der Funktionen. Der komplizierte Formelapparat erfordert einige Kaunstgriffe, insbesondere werden im Fall 2) die infinitesimalen Umnormierungen verwendet, wie dies Verf. schon in einer früheren Arbeit (1932; F. d. M. \(58_{\text I}\), 751) getan hat. Die zwischen den Invarianten bestehenden Relationen folgen sämtlich aus den \textit{Jacobi}identitäten zwischen den Operatoren. - Fall 3) wird auf die Invariantentheorie einer zweiparametrigen Kurvenschar zurückgeführt und nach der eben zitierten Arbeit behandelt. Die umgerechneten Invarianten erweisen sich aber als so kompliziert, daß\ sie nich explizit angegeben werden; die niedrigsten Halbinvarianten sind von sechster Differentiationsordnung.