Complex geometry and relativity; theory of the ``rac'' curvature (Q569617)

Unter dem ``rac'' \(R\) einer analytischen Kurve versteht Verf. den Grenzwert Bogen: Sehne. Für gewöhnliche reelle Kurven gilt natürlich stets \(R=1\). Der Sachverhalt liegt aber wesentlich anders in Kurvenpunkten mit isotropen Tangenten. Hier gelten zunächst die beiden folgenden Sätze, deren Inhalt und Beweis Verf. teilweise bereits in einer früheren Arbeit bekanntgegeben hatte (1914; F. d. M. 45, 809 (JFM 45.0809.*)): (1) In jedem regulären Punkte einer ebenen analytischen Kurve ist der rac durch eine der Zahlen der diskreten Folge: \[ 1, \frac {2\sqrt 2}{3}, \frac {2\sqrt 3}{4}, \frac {2\sqrt 4}{5}, \frac {2\sqrt 5}{6}, \dots, \frac {2\sqrt n}{n+1},\dots \] gegeben, und zwar durch die \(n\)-te Zahl dieser Folge, wenn die Kurve in dem entsprechenden Punkt eine Berührung von \((n-1)\)-ter Ordnung mit einer isotropen Geraden hat. (2) In einem Raum von drei und mehr Dimensionen kann der rac einer regulär analytischen Kurve jeden reellen und komplexen Wert (einschließlich 0 und \(\infty \)) annehmen. (3) Wieder anders liegen die Dinge für Kurven auf (krummen) analytischen Flächen. Hier bestehen für Racwerte folgende Möglichkeiten: (A) Die Gesamtheit aller komplexen Zahlen (einschließlich 0 und \(\infty \)). (B) Alle komplexen Zahlen mit einer einzigen (reellen) Ausnahme, nämlich einer der Zahlen aus der Reihe: \[ R_3, R_5, R_7,\dots \Big ( R_n = \frac {2\sqrt n}{n+1}\Big ). \] (C) Die diskrete reelle Folge: \(R_n = \frac {2\sqrt n}{n+1}\). (D) Genau zwei reelle Zahlen: Die Einheit und eine aus der Reihe \(R_2,R_4,R_6,\cdot \). (E) Die Einheit allein. Man hat jetzt zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem ob die Tangentialebene im betrachteten Punkt isotrop ist oder nicht. Ist sie nicht isotrop und ist der betrachtete Punkt kein Nabelpunkt, so gilt der Satz: (4) in einem allgemeinen Punkt einer allgemeinen Fläche kann der rac jeden komplexen Wert des Kontinuums annehmen mit der einzigen Ausnahme \(R_3 = \frac {\sqrt 3}{2}\). Ferner ergibt sich aus (3): (5) Die Ordnungsreihe der Mächtigkeiten aller möglichen Racwerte ist: \[ \mathfrak N, \mathfrak N - 1, \mathfrak N_0, 2,1. \] Die Verteilung der Racwerte regelt weiterhin der Satz: (6) Jede Fläche gehört zu einer und nur einer der Racwertklassen: \[ A; B_3, B_5, \dots ; C; D_2, D_4,\dots ; E, \] worin die Klasse \(B_k\) den Wert \(\frac {2\sqrt k}{k+1}\) ausläßt und \(D_k\) den Wert \(\frac {2\sqrt k}{k+1}\) zuläßt. Im Falle nicht-isotroper Tangentialebenen scheidet Klasse \(D\) aus; im Falle isotroper Tangentialebenen scheidet Klasse \(C\) aus. Zum Beweis dieser Sätze geht Verf. (z. B. im Falle des dreidimensionalen Raumes) von der Gleichung einer Fläche in der Form \[ z=c_{20}x^2 + c_{11}xy+c_{02}y^2 +c_{30}x^3 + \dots \] aus. Eine Flächenkurve wird definiert vermöge: \[ y=a_1x + a_nx^n+\dots ; z=b_2x^2 +b_3x^3+\dots \] (\(a_n\) erster nicht verschwindender Koeffizient nach \(a_1\); \(b_2,b_3\dots \) bestimmt aus der Flächengleichung). Dann kommt es auf das Verhältnis: \[ \frac {\alpha }{\gamma } = \Big (\int ^x_0 (1+y'{}^{2}+z'{}^2)dx\Big ): (x^2+y^2+z^2)^{\frac 12} \] an. Für \(1+a^2_1\not = 0\) ergibt sich \(\frac {\alpha }{\gamma }\rightarrow 1\); für \(1+a^2_1 = 0\) hat man die Fälle \(n\lesseqqgtr 2p-1\) zu unterscheiden (\(p\) bedeutet den niedrigsten Exponenten der Variablen \(x\), sobald in der Gleichung der Fläche \(y=ix\) substituiert wird; entsprechende Bedeutung erhält \(q\) für die Substitution \(y=-ix\)). Weiterhin werden die gewonnenen Ergebnisse noch geometrisch interpretiert und schließlich physikalisch angewendet - nämlich im \textit{Minkowski}schen Raum-Zeit-Kontinuum der speziellen Relativitätstheorie, wo man mit reellen Isotropen auskommt, wenn man nur eine indefinite Maßbestimmung in Kauf nimmt. Wird z. B. ein Photon stetig abgebremst, so erhält der rac seiner Weltlinie den Wert \(R_2=\frac {2\sqrt 2}{3}\). Endlich bringt Verf. noch die diskontinuierliche Racreihe \(R_n\) vermöge der Relation: \[ \frac {R^2}{4} = \frac 1{m} - \frac 1{m^2} \] mit der Quantelung von Strahlungsenergie in Beziehung. Die relativistischen Anwendungen seiner Theorie hatte Verf. teilweise bereits mitgeteilt (vgl. \textit{E. Kasner}, Nature 108 (1921), 434-435); einige weitere Ausführungen werden angekündigt. Weitere Ergebnisse für die imaginäre Geometrie scheinen Ref. bei entsprechender Verwendung \textit{Study}scher und höherer Parameter (Quasibogenlängen) für die Theorie des ``Quasiracs'' zu erwarten zu sein.