Equivalence des équations hypercomplexes et des équations matricielles (Q569649)

Es seien \(e^{\alpha }\) \(n\) hyperkomplexe Einheiten mit der Verknüpfungsregel \(e^{\alpha } e^{\beta } = A^{\alpha \beta }_{\gamma } e^{\gamma }\) (über \(\gamma \) summieren). Verf. betrachtet die Gleichung: \(d_{\alpha }e^{\alpha } \psi =0\), wobei \(d_{\alpha }\) ein kovarianter Differentialoperator und \(\psi =e^{\beta }\psi _{\beta }\) eine hyperkomplexe Funktion ist. Seien \(\Delta ^{\beta } = (A^{\alpha \beta }_{\gamma })\) die quadratischen Matrizen der Strukturkoeffizienten, \(\psi =(\psi ^{\beta })\) eine Spaltenmatrix mit den Elementen \(\psi ^{\beta } = g^{\alpha \beta }\psi _{\alpha }\) (\(g_{\alpha \beta }\) metrischer Tensor); dann wird durch leichte Rechnung die Äquivalenz obiger Gleichung mit der Matrizengleichung \(d_{\alpha }\Delta ^{\alpha }\psi =0\) gezeigt. Entsprechend ist \((d_{\alpha }d_{\beta }e^{\alpha }e^{\beta }+d_{\alpha }e^{\alpha }+A)\psi =0\) äquivalent mit \[ (d_{\alpha }d_{\beta }\Delta ^{\alpha }\Delta ^{\beta }+d_{\alpha }\Delta ^{\alpha } +A)\psi =0. \] Die Rechnung läßt sich unmittelbar auf beliebige Ordnung verallgemeinern.