On the operator method in classical mechanics. (Q569734)

Die Arbeit befaßt sich mit einem systematischen Ausbau der von \textit{Koopman} (1931; F. d. M. \(57_{\text I}\), 1010-1011) entdeckten Operatorenbehandlung der klassischen Mechanik. Zunächst wird festgestellt, daß\ bei der Annahme einer beliebig zu steigernden Meßgenauigkeit die Zugehörigkeit eines Phasenpunktes zu einer meßbaren Teilmenge des Phasenraumes physikalisch entscheidbar ist. Weiter wird gezeigt, wie man eine beliebige allgemeine Strömung als Vereinigungsmenge von ergodischen Strömungen darstellen kann. Als notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß\ sich eine Operatorenschar \(U_t\) im Sinne von \textit{Koopman} einer allgemeinen Strömung zuordnen läßt, werden die folgenden angegeben: Die \(U_t\) sind unitäre Operatoren, die eine einparametrige Gruppe bilden: \(U_tU_s=U_{t+s}\). \(U_t\) hängt meßbar von \(t\) ab. Es ist \(U_tfU_tg=U_t(fg)\), falls \(f,g\) und \(fg\) zum \textit{Hilbert}schen Raum \(\mathfrak P\) gehören (für die Bezeichnungen vgl. das untenstehende Referat zu Verf., ``Proof of the quasiergodic hypothesis''). Für die \(U_t\)-Scharen mit reinem Punktspektrum wird folgender Satz bewiesen: Ist \(\mu (\Omega )=1\) und die allgemeine Strömung \(S_t\) in \(\Omega \) ergodisch und besitzt die Operatorenschar \(U_t\) ein reines Punktspektrum, so ist dieses eine abzählbar unendliche Menge \(Z\) von reellen Zahlen, die mit \(\lambda,\mu \) auch \(\lambda \pm \mu \) enthält. Umgekehrt werden alle solche reellen Zahlenmengen \(Z\) in dieser Weise erzeugt und zwar werden \(\Omega \) und \(S_t\) durch \(Z\) im wesentlichen eindeutig bestimmt. Für ergodische differenzierbare Strömungen \(S_t\) wird folgender Satz bewiesen: Für eine solche Strömung ist das Gesamtspektrum immer die ganze Zahlengerade \(-\infty <\lambda <\infty \) mit der einen Ausnahme, daß\ die einfach periodische Strömung mit der Periode \(\frac {2\pi }{\omega }\) \((\omega >0)\) das reine Punktspektrum \(k\omega \) \((k=0,\pm 1,\pm 2,\dots )\) besitzt. Beispiele von zweidimensionalen Strömungen am Schluß\ der Arbeit zeigen, daß\ wahrscheinlich Strömunen ohne reines Streckenspektrum sehr selten auftreten. (IV 7.)