Proof of the quasi-ergodic hypothesis (Q569737)

Verf. gibt mit Hilfe der \textit{Koopman}schen Operatorenmethode zur Behandlung der klassischen Mechanik [Proceedings USA Academy 17, 315--318 (1931; JFM 57.1010.02)] einen ersten Beweis der sogenannten Quasiergodenhypothese (vgl. P. und \textit{T. Ehrenfest} [Encykl. d. Math. Wiss. IV, 4, Art. 32 (1912; F. d. M. 43, 763 (JFM 43.0763.01)], insbes. S. 30-36), und zwar lautet sein Resultat folgendermaßen: Sei \(\Omega \) entweder der Phasenraum \(\Phi \) des betrachteten mechanischen Systems oder ein Unterraum von \(\Phi \), der bei von den Bewegungsgleichungen hervorgerufenen Transformationen \(P\rightarrow P_t\) (\(P\) Punkt von \(\Phi \), \(t\) Zeit) invariant ist. Weiter sei \(dv\) das bei \(P\rightarrow P_t\) invariante Volumenelement in \(\Omega \), \(\mu N\) sei das mit Hilfe von \(dv\) definierte \textit{Lebesgue}sche Maß\ von \(N<\Omega \) \((\mu N = \int _N dv)\). Die Aufenthaltszeit des Punktes \(P_t\) in \(N\) während der Zeit \(s<\tau <t\), dividiert durch \(t-s\) sei \(Z_{s,t}(N;P)\). Es gibt dann stets eine Funktion \(Z(N;P)\) derart, daß\^^M \[ \lim _{t-s\rightarrow \infty } \int _{\Omega } |Z_{s,t}(N;P)-Z(N;P)|^2 dv=0 \] ist. Das System genügt der Quasiergodenhypothese, wenn \(Z(N;P)\) unabhängig von \(P\) ist. Das ist dann und nur dann der Fall, wenn in \(\Omega \) kein anderes Integral (s. u.) der Bewegungsgleichungen existiert als ein fast überall konstantes. Die Funktion \(Z(N;P)\) wird explizit berechnet. Ist \(f\) eine Funktion des \textit{Hilbert}schen Raumes \(\mathfrak P\) der quadratisch über \(\Omega \) (mit Hilfe von \(dv\)) summierbaren Funktionen und ist \(U_t\) der nach \textit{Koopman} unitäre Operator in \(\mathfrak P\), der durch \[ U_t f(P)=f(S_tP)=f(P_t) \] gegeben ist, so wird beim Beweise wesentlich der Operator \[ \frac 1{t-s}\int ^t_s U_{\tau }d\tau \quad (s<t) \] und die spektrale Zerlegung von \(U_t\) herangezogen. Die Funktion \(f(P)\) aus \(\mathfrak P\) heißt ein Integral (s. o.) der Strömung, wenn für jedes \(t\) \[ f(S_tP)=f(P) \] für fast alle \(P\) gilt. (IV 7.)