Zur turbulenten Strömung in Rohren und längs Platten. (Q569996)

Die Gedankengänge aus Lieferung 3 (1927; F. d. M. \(58_{\text{II}}\), 1304) werden fortgesetzt. Sei \(\tau \) die Wandreibung, \(v_* = \sqrt {\frac {\tau }{\rho }}\), so ist \(\varphi = \frac {u}{v_*}\) dimensionslos (\(u\) die Geschwindigkeit). Ebenso ist \(\eta = \frac {v_*y}{\nu }\) dimensionslos, wo \(y\) der Wandabstand ist. Plausibel ist das Bestehen eines Gesetzes de Form \(\varphi = \varphi (\eta )\). Nach der Erfahrung stimmt recht gut die Annahme \(\varphi = A \log \eta + B\), wobei \(A\) und \(B\) allerdings nicht ganz genau konstant sind. Im Mittel kann \(A=5,74\), \(B=5,46\) angenommen werden. Mit diesen Hilfsmitteln kann nun unter Benutzung des Impulssatzes der Widerstand in einer turbulenten Grenzschicht an einer Platte berechnet werden. Um die Singularität für \(\eta = 0\) zu vermeiden, wird die Beziehung zwischen \(\varphi \) und \(\eta \) geringfügig in \[ \varphi = a\log (1+b\eta ) \] abgeändert, wobei \(A=2,3052 a\), \(B = a \log b\). Unter dieser Annahme kann die Rechnung bis zu Ende durchgeführt werden. Während der Korrektur wurde ein wichtiger Zusatz gemacht: Für ein kreisförmiges Rohr läßt sich nun eine rationelle Widerstandsformel gewinnen. Für die mittlere Geschwindigkeit folgt eine Formel \(\bar u = u_1-4,07v_*\), wo \(u_1\) die maximale Geschwindigkeit ist, und für die durch \(\frac {p_1-p_2}{l} = \frac {\lambda }{2r}\frac 12 \rho \bar u^2\) definierte Widerstandszahl \(\lambda \) folgt eine Gleichung \[ \frac 1{\sqrt {\lambda }}=1,952 \log (\mathfrak R\sqrt {\lambda })-0,545, \] wo \(\mathfrak R\) die \textit{Reynolds}sche Zahl ist. Diese Foreml wurde auch von \textit{Nikuradse} empirisch gefunden.