Über die quadratischen Irrationalitäten in der griechischen Mathematik. (Q570865)

Verf. geht aus von einigen Erklärungsversuchen für die Ungleichung \[ \dfrac{265}{153} < \sqrt3 < \dfrac{1351}{780} \] zu Beginn der \textit{Archimed}ischen Kreismessung, die auf Grand der Identität \[ x^2 - 3y^2 = (2x + 3y)^2 - 3(x + 2y)^2 \] aus einem ganzzahligen Lösungspaar \(x, y\) der \textit{Fermat}schen Gleichung \[ x^2 -3y^2 = +1, -2 \] weitere ganzzahlige Lösungspaare konstruieren und daraus zwei rekurrente Zahlenfolgen zur Annäherung von \(\sqrt3\) bilden. Da diese und ähnliche Verfahren nach Ansicht des Verf. z. T. verwickelt, außerdem nicht verallgemeinerungsfähig sind (darin irrt Verf.), entwickelt er aus der Identität \[ (m^2 + Dn^2)^2 - D(2mn)^2 = (m^2 - Dn^2)^2 \] in Erweiterung des Hilfssatzes (1) zu \textit{Euklid} X, 28 eine Methode zur Gewinnung neuer ganzzahliger Lösungspaare der \textit{Fermat}schen Gleichung \[ x^2 - Dy^2=C \] aus einem bekannten, deren Quotienten schrittweise den gesuchten Wurzelwert von oben annähern. Dies Verfahren, im wesentlichen identisch mit dem \textit{Heron}s (Opera III (Ausgabe 1903; F. d. M. 34, 42 (JFM 34.0042.*)), 18-21; vom Verf. nicht erwähnt), wird in exakter Weise zur \textit{Definition} der quadratischen Irrationalität \(\sqrt{D}\) verwendet; daran schließt sich die Herstellung zugeordneter Näherungswerte, welche \(\sqrt{D}\) auch von unten annähern. Die pädagogische Tendenz steht bewußt im Vordergrund; das Historische kommt ein wenig zu kurz. Das Verfahren selbst dürfte in \textit{dieser} Form schwerlich antik sein; eine wirkliche \textit{Erklärung} der \textit{Archimed}ischen Werte wird nicht gegeben; ferner fehlt (abgesehen von vielen andern unerwähnten Stellen) der Hinweis auf \textit{S. Günther} (1879, 1882; F. d. M. 11, 37 (JFM 11.0037.*)-38; 14, 21-22), außerdem \textit{H. Konen}, Geschichte der Gleichung \(t^2- Du^2 = 1\) (1901; F. d. M. 32, 195 (JFM 32.0195.*)). (I 3, III 6.)