Das Problem des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten. (Q571207)

In diesem Aufsatz versucht ein Philosoph, die Schwierigkeiten der Mathematiker bei der Erörterung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten aufzulösen. Verf. ist der Meinung, daß die Mathematik ``die sinnhaften Beziehungen möglicher Gegenstände'' untersucht. Sein ''transzendentales Prinzip'', daß ``alles, was im Sinn und dann in der (bestimmenden oder darstellenden) Konstruktion des Sinnes liegt, auch für die durch diesen bestimmten Gegenstände gilt'', ist ihm das eigentliche Fundament der Mathematik. An sich sei die Mathematik dank ihrer allgemeinen Bezogenheit auf mögliche Gegenstände dem Satz der Identität, dem Satz des Widerspruchs und dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten unterworfen. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten unterscheide sich aber von den beiden ändern dadurch, daß er nicht die Gegenstände betrifft, sondern das Bestimmen der Gegenstände charakterisiert. Die übliche Formulierung dieses Satzes kranke daran, daß ``dem Gegenstand inadäquate Bestimmungen'' nicht ausdrücklich ausgeschlossen würden. So müßte man auf Grund der üblichen Formulierung des Satzes sagen können: ``Weihnachten ist entweder blau oder nicht blau''. Verf. erklärt dies für eine unzulässige Anwendung des Satzes, da sie ein ``inadäquates Bestimmen'' enthalte. Mit ändern Worten: Verf. weist an Hand des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten auf die Notwendigkeit einer Unterscheidung zwischen falschen und sinnleeren Sätzen hin, wie sie in der Typentheorie der Logistik in voller Allgemeinheit durchgeführt vorliegt. Verf. wendet nun aber den Begriff der inadäquaten Bestimmung noch auf eine andere Art von Sätzen an, die seiner Auffassung nach die wunde Stelle der üblichen Unendlichkeitsmathematik bilden: auf die Aussagen über unendliche Bereiche oder Folgen. Auch diese führen, wie er meint, wenn man nicht mehr nur die Gesetze (für welche das tertium non datur sinnvoll und gültig ist), sondern die dadurch bestimmten, und zwar in der Unendlichkeitsmathematik nur approximativ bestimmten, Gegenstände betrachtet, zu grundsätzlich inadäquaten Bestimmungen. Um dieser Inadäquatheit willen sei auch hier der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht mehr anwendbar. So meint Verf. zu einer vollen Rechtfertigung \textit{Brouwers} zu gelangen; ja selbst die Ausschließung des tertium non datur aus der allgemeinen Logik scheint ihm berechtigt, da ja ``alles bestimmende Erkennen von Gegenständen seinem Sinn gemäß als inadäquat und unendlich und im günstigsten Falle als nur approximierend gedacht werden muß''. Ob es je gelingen könne, eine Mathematik aufzubauen, die die Ablehnung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten zum Boden einer ausreichenden und allen derartigen Einwänden entgehenden Axiomatik nimmt, läßt Verf. -- als in solcher Frage inkompetent -- dahingestellt. Anschließend werden noch in Anhängen kurz erörtert: Die \textit{Hilbert}sche Beweistheorie; wesentliche und unwesentliche Gesichtspunkte des Bestimmens; ein Beispiel für die Inadäquatheit, die sich im Unendlichkeitsgedanken ausdrückt; der haltbare Sinn des sogenannten Axioms des Unendlichen. Im letzten gelangt Verf. zu der These: ``Die Welt der Gegenstände ist endlich, das erlebende Ich dagegen der Quell aller Unendlichkeit''.