Axiome, empirische Gesetze und mathematische Konstruktionen. (Q571236)

Verf. vertritt die Ansicht, daß es in der Arithmetik, im Gegensatz zur Geometrie, Mechanik, Physik, keine Axiome gibt, sondern nur gewisse Grundkonstruktionen, die aus dem Setzen der Einheiten in einer Folge, aus Zusammenfassungen, Zuordnungen usw. hervorgehen. Zu diesen Grundkonstruktionen rechnet er Addition, Multiplikation, Potenzbildung und alle ändern rekursiven Definitionen. Ein von \textit{Hilbert} früher aufgestelltes Axiomensystem, das z. B. das kommutative und assoziative Gesetz enthält, lehnt er deshalb ab, weil diese Gesetze aus den die Grundkonstruktionen angebenden Formeln \[ a + (b+1) = (a+b)+1, \;a+0 = a \] und den entsprechenden für die Multiplikation, ``allerdings unter Benutzung eines besonderen Kunstgriffs'', sich beweisen lassen. Einen Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Arithmetik lehnt er ab, da es sich gezeigt habe, daß zum Zweck des Beweises für die Symbolzusammenstellungen wiederum derartige Begriffskonstruktionen eingeführt werden müßten. Referent muß dazu bemerken, daß die Beweisbarkeit eines Systems von Sätzen aus einem ändern derartigen System kein Kriterium dafür ist, daß das erste System als Axiomensystem ungeeignet ist. Es gibt für kein Wissensgebiet ein absolut ausgezeichnetes Axiomensystem. Was die Auffassung der Addition usw. als bloße Konstruktionen anbelangt, so hat schon \textit{Hessenberg} in seinen ``Grundbegriffen der Mengenlehre'' (1906; F. d. M. 37, 67 (JFM 37.0067.*)-68), Kap. XXVI, \S\, 107 überzeugend dargetan, daß diese Konstruktionen ohne die vollständige Induktion unwirksam bleiben; diese letztere kann man auch nicht dadurch ihres axiomatischen Charakters entkleiden, daß man sie als bloßen ``Kunstgriff'' bezeichnet. Was den Vorwurf der Zirkelhaftigkeit gegenüber den Widerspruchsfreiheitsbeweisen anbelangt, so erübrigt es sich, darüber ein Wort zu verlieren, da auch von intuitionistischer Seite (vgl. \textit{Heyting}, Mathematische Grundlagenforschung, Intuitionismus, Beweistheorie; 1934; JFM 60.0019.*) die \textit{Hilbert}sche Methode als durchaus logisch einwandfrei anerkannt ist; der Streit geht nur um den Erkenntnischarakter der begründeten Mathematik. (III 1.)