Les ensembles analytiques comme cribles au moyen des ensembles fermés. (Q571649)

Ist \(H\) irgendeine ebene Punktmenge, so kann man die Menge \(\varGamma (H)\) der Punkte \(a\) auf der \(x\)-Achse bilden, für welche die Parallelen \(x = a\) zur \(y\)-Achse die Menge \(H\) in mindestens einem Punkte treffen, aber mit \(H\) (bei der Ordinatengröße als Ordnungsprinzip) keine wohlgeordnete Menge gemein haben. Von dieser linearen Menge \(\varGamma (H)\) sagt man, sie sei durch Siebung mittels der Siebmenge \(H\) entstanden. Nachdem \textit{Lusin} schon gezeigt hat, daß die Mengen, die durch Siebung mittels Mengen \(F_\sigma\) erhalten werden, gerade die analytischen Mengen sind, zeigt Verf. unter anderm: Auch die Mengen, die mittels abgeschlossener Siebmengen entstehen, sind genau die analytischen Mengen. Für eine durch Siebung mittels der Siebmenge \(H\) entstandene lineare Menge \(E\) und eine Ordnungszahl \(\alpha < \Omega\) sei \(\mathfrak{E}_\alpha (H)\) die Menge der Punkte \(a\) der \(x\)-Achse, für welche die Gerade \(x = a\) mit der Menge \(H\) eine Punktmenge vom Ordnungstypus \(\alpha\) gemein hat (die Punkte nach wachsender Größe ihrer Ordinate geordnet). Ist \(H\) ein \(F_\sigma\), so ist jedes \(\mathfrak{E}_\alpha\) (``partie constituante'' der Komplementärmenge (\(\mathfrak{E}\) von \(E\) genannt) \textit{Borel}-meßbar. Eine entsprechende Tatsache gilt für die ``constituants'' der linearen Menge \(E\) selber. Zum Schluß werden die Ergebnisse für ebene Mengen \(E\) (statt linearer) diskutiert.