Sur une classe d'opérations sur les ensembles de point. (Q571656)

Ist \(P\) eine gegebene Eigenschaft linearer Mengen und \(H\) eine ebene Menge, so bezeichnet Verf. mit \(\varGamma_P(H)\) die Menge aller reellen Zahlen \(a\), für welche der Durchschnitt der Geraden \(x = a\) mit \(H\) die Eigenschaft \(P\) besitzt. Verf. beschäftigt sich nun mit der folgenden allgemeinen Frage: Ist \(F\) eine gegebene Familie von ebenen Punktmengen und \(P\) eine gegebene Eigenschaft linearer Mengen, so bestimme man die Familie \(\varPhi\) aller Mengen \(\varGamma_P(H)\), wobei \(H\) eine (variable) Menge der Familie \(F\) bezeichnet. Verf. stellt in dieser Arbeit in dankenswerter Weise alles zusammen, was bisher über diese Frage bekannt ist, wenn \(F\) (1) die abgeschlossenen Mengen, (2) die Mengen \(F_\sigma\), (3) die Mengen \(G_\delta\), (4) die \textit{Borel}schen Mengen, (5) die analytischen Mengen der Ebene bedeutet, und wenn unter \(P\) eine der folgenden Eigenschaften einer linearen Menge verstanden wird: (I) nicht leer zu sein; (II) ein einziges Element zu enthalten; (III) mehr als ein Element zu enthalten; (IV) unendlich viele Elemente zu enthalten; (V) nicht abzählbar viele Elemente zu enthalten; (VI) nach oben nicht beschränkt zu sein; (VII) nicht wohlgeordnet zu sein; (VIII) wohlgeordnet vom Typus \(\alpha\) zu sein; (IX) einen letzten Punkt zu besitzen; (X) in sich dicht zu sein; (XI) eine in sich dichte (nicht leere) Teilmenge zu enthalten; (XII) abgeschlossen zu sein; (XIII) perfekt zu sein; (XIV) eine perfekte Teilmenge zu enthalten. Die bisher bekannten Resultate werden nach mancher Richtung ergänzt (z. B. bei (X) und (XII)), und es werden die wenigen noch nicht erledigten Fälle (z. B. bei (VIII) und (IX)) hervorgehoben.