Über den transfiniten Durchmesser (Kapazitätskonstante) von ebenen und räumlichen Punktmengen. (Q571661)

Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit ist, die von \textit{Fekete} begründete und von \textit{Szegö} und andern weiter ausgebaute Theorie des transfiniten Durchmessers ebener Punktmengen auf räumliche zu übertragen (vgl. \textit{Fekete}, 1923; F. d. M. 49, 47 (JFM 49.0047.*); \textit{Szegö}, 1924; F. d. M. 50, 44 (JFM 50.0044.*)). Das gelingt, wenn man die von der Theorie der Polynome ausgehenden Begriffsbildungen potentialtheoretisch wendet, wie ja auch schon die eben zitierte Arbeit von \textit{Szegö} eine Verbindung zur Potentialtheorie hergestellt hat. An Stelle des geometrischen Mittels gewisser Abstände, mit dem in der Ebene operiert wird, tritt dann im Raume das harmonische Mittel. So wird nun in Analogie zu der Folge \(d_n\) für eine ebene Punktmenge jeder beschränkten abgeschlossenen Menge \(\mathfrak{M}\) im Raume eine Folge \(D_n\) zugeordnet: Man wähle \(n\) Punkte auf \(\mathfrak{M}\) so, daß das harmonische Mittel \(D_n\) ihrer gegenseitigen Abstände möglichst groß ausfällt; potentialtheoretisch interpretiert ist \(\dfrac{{n\choose 2}}{D_n}\) das Minimum der potentiellen Energie von \(n\) auf \(\mathfrak{M}\) variablen Massenpunkten der Masse Eins. Diese Folge erweist sich leicht als monoton abnehmend; ihr Grenzwert \(D(\mathfrak{M})\) heißt der transfinite Durchmesser von \(\mathfrak{M}\). Eine zweite Folge \(R_n\) wird dadurch gewonnen, daß man, in Analogie zu den \textit{Tschebyscheff}schen Polynomen in der Ebene, zu der räumlichen Menge \(\mathfrak{M}\) eine Potentialfunktion bildet, indem man \(n\) Massenpunkte der Masse \(\dfrac{1}{n}\) so verteilt, daß das Minimum ihres Potentials auf \(\mathfrak{M}\) möglichst groß ausfällt. Auch von dieser Folge läßt sich leicht zeigen, daß sie konvergiert; ihr Grenzwert sei \(R(\mathfrak{M})\). Die Kapazitätskonstante \(K(\mathfrak{M})\) wird zunächst für Mengen erklärt, die von endlich vielen analytischen Flächen begrenzt werden. Man bilde in demjenigen zusammenhängenden Gebiet der Komplementärmenge von \(\mathfrak{M}\), das den unendlich fernen Punkt enthält, diejenige Potentialfunktion, die im Unendlichen wie \(\dfrac{1}{r}\) verschwindet und auf dem Rande einen konstanten Wert hat; dieser sei mit \(\dfrac{1}{K}\) bezeichnet; dann heißt \(K\) die Kapazitätskonstante von \(\mathfrak{M}\). Auf beliebige \(\mathfrak{M}\) wird die Erklärung durch einen passenden Grenzübergang übertragen. Der Hauptsatz besagt nun: \[ D(\mathfrak{M}) = R(\mathfrak{M}) = K(\mathfrak{M}). \] Der Beweis läßt sich zum Teil in Analogie zum ebenen Fall führen; doch zwingt insbesondere gelegentlich das Fehlen der determinantentheoretischen Hilfsmittel zu ganz andern, potentialtheoretischen Wegen, die sich natürlich wieder auf den ebenen Fall übertragen lassen. Die Folgen \(D_n = D_n^{(-1)}\) und \(R_n = R_n^{(-1)}\) werden dann noch verallgemeinert zu \(D_n^{(\lambda)}\), \(R_n^{(\lambda)}\) bei denen an Stelle des harmonischen das \(\lambda\)-te Potenzmittel tritt. Auch diese Folgen konvergieren noch, jedoch im allgemeinen nicht mehr zu gleichen Grenzwerten \(D^{(\lambda)}\) bzw. \(R^{(\lambda)}\). Diese Zahlen werden nun -- von gewissen Ausnahmeintervallen für \(\lambda\) bei \(D^{(\lambda)}\) abgesehen -- für folgende Mengen berechnet: Ein Punktepaar, eine Strecke; eine Kreislinie, eine Kreisscheibe; eine Kugelfläche, eine Vollkugel. Diese sehr reizvollen und instruktiven Rechnungen sind nicht nur Beispiele zu der allgemeinen Theorie, sondern enthalten auch vieles Interessante über spezielle Funktionen und Entwicklungen, z. B. über \textit{Jacobi}sche Polynome. Dabei zeigt es sich, daß \(D^{(\lambda)} = R^{(\lambda)} = 0\), wenn \(\lambda < - d\), dagegen \(D^{(\lambda)}, R^{(\lambda)}\neq 0\) für \(\lambda > -d\), wobei \(d\) die Dimension der betreffenden Menge im elementargeometrischen Sinn ist. Das läßt sich allgemein für jede Kurve mit stetiger Tangente bzw. für jede Fläche mit stetiger Normale beweisen. Wird die obere Grenze der \(\lambda\)-Werte, für die \(R^{(\lambda)}\) bzw. \(D^{(\lambda)}\) verschwindet, mit \(- d'\) bzw. mit \(- d''\) bezeichnet, so kann man \(d'\) oder \(d''\) als Dimension von \(\mathfrak{M}\) erklären. Es wird gezeigt, daß es Mengen mit beliebig vorgeschriebener Dimension \(d'\leqq 3\) gibt. In einem Schlußparagraphen wird eine von \textit{Pólya} früher behandelte Extremalaufgabe (1928; F. d. M. 54, 377 (JFM 54.0377.*)) in einer durch die vorliegenden Begriffsbildungen nahegelegten Weise verallgemeinert. (IV 6 A, 13.)