Sur les notions originelles de la géométrie infinitésimale directe. (Q571664)

Den Hauptgegenstand der Untersuchung bilden die von \textit{G. Bouligand} eingeführten Begriffe des Paratingents (Ptg.) und des Kontingents (Ktg.) in einem Häufungspunkt einer Punktmenge \(E\) im dreidimensionalen euklidischen Raum, und zwar insbesondere das Verhalten von Ptg. und Ktg. bei Summen- oder Durchschnittsbildung endlich oder unendlich vieler Mengen \(E_\nu\), sowie bei orthogonaler Projektion auf eine Ebene. Letzteres führt auf eine Verallgemeinerung des Satzes, daß unter gewissen einschränkenden Bedingungen die Projektion der Tangente einer Raumkurve die Tangente der Projektion der Kurve ist; entsprechendes gilt nun für das Ktg. und eine schwächere Aussage auch für das Ptg. in einem Häufungspunkt von \(E\). Gehört eine Gerade durch einen Punkt \(O\) von \(E\) nicht zum Ptg. in \(O\), oder reduziert sich das Ptg. in \(O\) auf genau eine Gerade, so läßt sich, wenn \(E\) eben ist, eine gewisse Umgebung von \(O\) in der Form \(y = f(x)\) darstellen, wobei über \(f\) je nach den Voraussetzungen noch weitere Aussagen gemacht werden können. Auf den Fall, daß das Ptg. bzw. das Ktg. in \(O\) endlich viele, aber mehr als eine Gerade bzw. Halbgerade enthält, lassen sich diese Sätze aber nicht ohne weiteres verallgemeinern. Neben dem bisher betrachteten ``linearen'' Ktg. werden nun das auch von \textit{G. Bouligand} eingeführte Oskulations- oder Ebenenkontingent, sowie das Kreis- und das Kugelkontingent untersucht. Dies ermöglicht, Kriterien für die Existenz von Halbtangenten stetiger Kurven aufzustellen. Für die Stetigkeit jedes der vier Kontingente in einem Punkt von \(E\) gibt Verf. eine hinreichende Bedingung an, die insbesondere zeigt, daß ein einfacher \textit{Jordan}scher Halbbogen stetige Kontingente besitzt. Die Stetigkeit des Ptg. in jedem Punkt eines ebenen Kontinuums wird bewiesen; dagegen bleibt die Frage für ein dreidimensionales Kontinuum unbeantwortet. Schließlich wird ein Satz von \textit{Janiszewski} (1912; F. d. M. 43, 567-569) mit Hilfe der hier behandelten Begriffsbildungen neu bewiesen. (V 2, 6 A.)