Sur la construction de Cantor-Minkowski. (Q571669)

Die vorliegende Arbeit bildet die Fortsetzung der Abhandlung des Verf. ``Ensembles impropres et nombre dimensionnel'' (1928; F. d. M. 54, 644). Die Konstruktion von \textit{Cantor-Minkowski} ist die Operation der Vereinigung der gleichen Kugeln im euklidischen Raum, deren Mittelpunkte auf einer beschränkten Menge \(E\) liegen, die man stets als abgeschlossen voraussetzen kann. Wenn man annimmt, daß die Kugeln offen sind, so ist ihre Vereinigung eine offene Menge \(E_\varrho\); Verf. hat in der oben zitierten Arbeit bewiesen, daß die Funktion \(f(\varrho )\) stetig ist (\(\varrho\) ist hierbei der Radius der Kugeln und \(f(\varrho )\) das Volumen dieser offenen Menge), und ferner, daß die Gesamtoberfläche der Flächen, die den Rand der Menge \(E_\varrho\) bilden, endlich ist. Im Gegensatz zur früheren Ansicht des Verf. hat aber diese Funktion \(f(\varrho )\) nicht notwendig eine stetige Ableitung. Verf. beweist die folgenden Sätze: (1) Jeder Randpunkt von \(E_\varrho\), der nicht auf dem äußeren Rand liegt, ist Multifurkationspunkt (point de multifurcation). (2) Jeder Punkt auf dem äußeren Rande von \(E_\varrho\) ist Grenzpunkt gewöhnlicher (\(=\) nicht-Multifurkations-) Punkte.