Sur une généralisation des surfaces convexes. (Q571672)

Eine naheliegende Verallgemeinerung der konvexen Kurven bzw. Flächen sind diejenigen Kurven bzw. Flächen, die in jedem Punkt einen Kreis bzw. eine Kugel von vorgegebenem Radius \(\varrho\) zulassen, so daß kein Punkt der Kurve bzw. Fläche im Innern des Kreises bzw. der Kugel liegt. Verf. beschränkt sich auf die Untersuchung der Flächen dieser Art, da er die Kurven gesondert in mehreren Noten behandelt hat (1929, 1930; JFM 55.0393.*; 56\(_{\text{I}}\), 91, 93). Jede solche Fläche kann aufgefaßt werden als Rand oder als Teil des Randes \(F_\varrho\) der offenen Menge \(E_\varrho\), die durch Anwendung der Konstruktion von \textit{Cantor-Minkowski} für die Zahl \(\varrho\) (C. M. \((\varrho )\)) aus einer geeigneten Menge \(E\), die als abgeschlossen vorausgesetzt werden darf, hervorgegangen ist. Das Problem ist also auf die Untersuchung dieser \textit{Cantor-Minkowski}schen Mengen \(F_\varrho\) zurückgeführt. Jeder Punkt \(M\) von \(F_\varrho\) liegt auf der Oberfläche mindestens einer Kugel des Radius \(\varrho\), deren Mittelpunkt \(A\) in \(E\) liegt. Alle so einem Punkte \(M\) von \(F_\varrho\) zugeordneten Punkte \(A\) von \(E\) heißen die Projektionen von \(M\), die Strecken \(MA\) die Projizierenden. Auf Grund einiger fundamentaler Lagebeziehungen zwischen den Punkten von \(F_\varrho\) und ihren Projektionen läßt sich zeigen, daß die ``Front'' \(\varphi_\varrho\) von \(E\), d. h. die Menge der Punkte von \(E\), die Projektionen von Punkten von \(F_\varrho\) sind, ein Teil des Randes der aus \(F_\varrho\) durch C. M. (\(\varrho\)) erhaltenen offenen Menge ist, und umgekehrt ist \(F_\varrho\) der Rand oder ein Teil des Randes der aus \(\varphi_\varrho\) durch C. M. (\(\varrho\) ) erhaltenen Menge. Hieraus folgen weitere Beziehungen zwischen Mengen auf \(F_\varrho\) und der Menge ihrer Projektionen. Sei \(\omega (M)\) die Menge der Projektionen des Punktes \(M\); \(\omega (M)\) liegt also auf der Kugel \(S^\varrho_M\) des Radius \(\varrho\) um \(M\). \(M\) heißt ein \(\alpha\)-, \(\beta\)-, \(\gamma\)-Punkt, wenn \(\omega (M)\) bzw. ganz auf einer Kalotte von \(S^\varrho_M\) liegt, die kleiner als eine Halbkugel ist, oder auf einer Halbkugel, aber auf keiner kleineren Kalotte, oder überhaupt nicht auf einer Halbkugel. Die \(\gamma\)-Punkte liegen auf \(F\) isoliert; die \(\beta\)-Punkte können sehr verschiedene Eigenschaften haben, je nach der Wahl von \(E\); dagegen führt die Untersuchung der \(\alpha\)-Punkte auf Aussagen über die Struktur von \(F_\varrho\). Man sieht nämlich, daß das Kontingent \(\tau (M)\) von \(M\), d. h. die Gesamtheit der Halbtangenten in \(M\) an \(F_\varrho\), für einen \(\alpha\)-Punkt \(M\) die Oberfläche eines konvexen Kegels ist, der durch die Projektionen vom \(M\) vollständig bestimmt ist (während für \(\beta\)-Punkte das Kontingent nur ein Teil dieser Kegeloberfläche ist). Jeder innere bzw. äußere Punkt von \(\tau (M)\), der in genügender Nähe von \(M\) liegt, ist ein äußerer bzw. innerer Punkt von \(E_\varrho\). Aus diesen Tatsachen läßt sich für jede genügend kleine Umgebung eines \(\alpha\)-Punktes eine Darstellung von \(F_\varrho\) durch eine stetige Funktion \(z = f(x, y)\) mit beschränkten Ableitungen angeben. (Für \(\beta\)-Punkte läßt sich ähnliches nur für diejenigen aussagen, die genau zwei entgegengesetzt gleichgerichtete Projizierende besitzen.) Dieser Sachverhalt legt die Frage nahe, unter welchen Bedingungen \(F_\varrho\) nur aus \(\alpha\)-Punkten besteht; eine hinreichende Bedingung ist folgende: Ist \(D\) der Durchmesser von \(E\), so wähle man \(\varrho >\dfrac{D}{\sqrt{2}}\). Dagegen gibt Verf. schon für \(\varrho =\dfrac{D}{\sqrt{3}}\) ein Beispiel an, wo auf \(F_\varrho\) \(\beta\)-Punkte existieren. Schärfere Aussagen über \(F_\varrho\) werden durch eine zweite Klassifikation der Punkte von \(F_\varrho\) ermöglicht: \(M\) heißt ein Punkt erster, zweiter, dritter Art, wenn die Projizierenden bzw. auf einer Geraden liegen, oder in einer Ebene, aber nicht auf einer Geraden, oder nicht in einer Ebene. Mit Hilfe von Struktursätzen über die Kontinuen von Punkten gleicher Art erhält man nun Kriterien für die Existenz von Tangentialebenen von \(F_\varrho\). Ein Punkt hat eine Tangentialebene, wenn das Kontingent zu einer Ebene ausartet. Dies ist nur bei Punkten erster Art möglich; Ausnahmepunkte können hier höchstens \(\beta\)-Punkte erster Art sein, die aber, wenn sie existieren, eine Menge vom Inhalt Null bilden. Da ferner die Gesamtheit der Punkte zweiter Art von \(F_\varrho\) eine Menge vom Inhalt Null ist, und die Gesamtheit der Punkte dritter Art abzählbar ist, so folgt: Wenn eine \textit{Cantor-Minkowski}sche Menge nicht in jedem Punkt eine Tangentialebene besitzt, so bilden die Ausnahmepunkte eine Menge vom Inhalt Null. Die von \textit{Bouligand} gestellte Frage nach der Gesamtheit der Punkte mit mehr als einer Projektion läßt sich nun folgendermaßen beantworten: Diese Menge hat im allgemeinen nicht den Inhalt Null; dies gilt nur für die Punkte zweiter und dritter Art, während für die Punkte erster Art ein Gegenbeispiel angegeben wird. (V 6 D.)