Über den Aufbau der Arithmetik. (Q571695)

Anknüpfend an die Peanoschen Axiome der natürlichen Zahlen, insbesondere an die zweite, ausführlichere Fassung derselben, die \textit{J. Peano} in seinem bekannten Werk, ``Arithmetices principia novo methodo exposita'' (1889; JFM 21.0051.02) gegeben hat, stellt Verf. ein Axiomensystem für die Menge der nicht negativen ganzen Zahlen auf: Er geht aus von einem System von Dingen, die er natürliche Zahlen nennt und durch kleine lateinische Buchstaben bezeichnet. Zwischen diesen Dingen bestehen die Grundbeziehungen der Gleichheit (\(a = b\)) und der (unmittelbaren) Folge (\(a \prec b\) oder \(b \succ a\)); die Negation der Gleichheit ist \(a \not = b \). Verf. unterscheidet die folgenden vier Axiomgruppen: I. Die Axiome der Gleichheit und Folge. II. Das Axiom der Null. III. Das Axiom der Existenz eines Nachfolgers. IV. Das Axiom der vollständigen Induktion. Die Axiome lauten: I 1. Aus \( a_1 \prec b\) und \(a_2 \prec b\) folgt \(a_1 = a_2\). I 2. Aus \(a \prec b_1\) und \(a \prec b_2\) folgt \(b_1 = b_2\). I 3. Aus \(a = b\) und \( b \prec c\) folgt \(a \prec c\). I 4. Aus \(a \prec b\) und \(b = c \) folgt \(a \prec c\). II. Es gibt eine natürliche Zahl, sie heißt 0, derart, daß aus \( a \prec b\) folgt \(b \not = 0\). III. Zu jeder natürlichen Zahl \(a\) existiert wenigstens eine natürliche Zahl \(b\) derart, daß \(a \prec b\). IV. Wenn eine Klasse \(\mathfrak K\) von natürlichen Zahlen die Eigenschaft hat, daß die Zahl 0 sowie mit \(a\) bei \(a \prec a^\prime\) stets auch \(a^\prime\) dazu gehört, so enthält \(\mathfrak K\) jede natürliche Zahl. Verf. beweist, daß diese Axiome sämtlich voneinander unabhängig sind. Alsdann wendet sich Verf. dem weiteren Aufbau des Zahlensystems zu. Er formuliert darüber die folgenden vier Thesen: (1) Es ist unzweckmäßig, sich die Erweiterungen so vorzustellen, daß zu den bereits vorhandenen ``alten'' Zahlen ''neue'' adjungiert werden. (2) Zweckmäßig ist es dagegen, sich an Stelle der Adjunktion eine vollkommene Neukonstruktion vorzustellen, indem neben dem System der alten Zahlen (und gestützt auf dieses) ein System ganz neuer Zahlen aufgebaut wird, in welchem dann ein Teilsystem existiert, das zu dem System der alten Zahlen hinsichtlich der Ordnungsbeziehungen sowie der Addition und Multiplikation isomorph ist, das infolgedessen im weiteren Gang der Entwicklung das alte System überall ersetzen kann und sogar berechtigt ist, dessen Namen zu übernehmen, während die übrigen neuen Zahlen als zum alten System adjungiert betrachtet werden dürfen. (3) Es ist unzweckmäßig, beim weiteren Ausbau so wie üblich über die Etappen natürliche Zahlen, relative ganze Zahlen, relative rationale Zahlen, reelle Zahlen, komplexe Zahlen zu gehen. (4) Vielmehr ist es zweckmäßig, sich an die Etappen natürliche Zahlen, absolute Brüche, absolute reelle Zahlen, relative reelle Zahlen, komplexe Zahlen zu halten. Verf. beschäftigt sich dann ausführlich mit der Einführung der irrationalen Zahlen, und zwar nach den ``Schnitttheorien''; er unterscheidet die drei folgenden Schnittdefinitionen : (I) Unter einem ``\textit{Folgenschnitt}'' versteht er die Gesamtheit zweier gegenläufig monotoner Folgen rationaler Zahlen \(a, A\), wobei jedes \(a < \) jedes \(A\) ist und zu jedem \(\delta > 0\) ein Gliederpaar \(a_0, A_0\) existiert mit \(A_0 - a_0 < \delta\). (II) Unter einem ``\textit{Totalschnitt}'' versteht er die Gesamtheit zweier nicht leerer Klassen rationaler Zahlen \(a, A\), wobei jedes \(a \leqq \) jedes \(A\) ist und jede rationale Zahl einer und nur einer Klasse angehört. (III) Unter einem ``\textit{Mengenschnitt}'' versteht er die Gesamtheit zweier nicht leerer Mengen rationaler Zahlen \(a, A\), wobei jedes \(a \leqq \) jedes \(A\) ist und zu jedem \(\delta > 0 \) ein Elementpaar \(a_0, A_0\) existiert mit \(A_0 - a_0 < \delta\). Die diesen drei Schnittdefinitionen entsprechenden Schnitttheorien, die sich sämtlich -- allerdings nur für den durch Verf. in These (3) abgelehnten Fall der Schaffung der \textit{relativen} reellen Zahlen auf der Grundlage der \textit{relativen} rationalen Zahlen -in der Literatur, und zwar bei \textit{Bachmann}, \textit{Dedekind} bzw. bei Capelli, finden, werden vom Verf. auf ihre Brauchbarkeit miteinander verglichen. Verf. gibt der Capellischen Theorie den Vorzug [\textit{A. Capelli}, Batt. G. 35, 209--234 (1897; JFM 28.0084.02)]; am Schluß der Arbeit entwickelt er das Rechnen mit den Mengenschnitten. \ \ (IV 1.)