On finite sequences of real numbers. (Q571702)

Zum Zwecke der Anwendung in der Statistik leitet Verf. Sätze aus der Orthogonalisierungstheorie der Vektoren mit \(n\) Komponenten her, die zum größeren Teil bekannt sind. Geringe Abweichungen von der üblichen Theorie ergeben sich dadurch, daß die betrachteten Vektoren \[ \mathfrak x_1 = \{ x_{11}, x_{12}, \dots, x_{1N} \} \] so normiert sind, daß \[ \sum_{p=1}^N x_{1p} = 0, \qquad \qquad \text{ (2) } \qquad \qquad \sum_{p=1}^N x_{1p}^2 = 1 \tag{1} \] ist. Die inneren Produkte \(\mathfrak x_p \mathfrak x_q = r_{pq} \) werden in den Anwendungen als Korrelationskoeffizienten bezeichnet. Besonders eingehend wird der für die Statistik wichtige Fall behandelt, daß in der Matrix der Korrelationskoeffizienten \[ \left( \begin{matrix} \quad & \quad & \quad & \\ 1 & r_{12} & \cdots & r_{1n} \\ r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2n} \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ r_{n1} & r_{n2} & \cdots & r_{nn} \end{matrix} \right), \] die als gegeben angesehen wird, während die \(\mathfrak x_p\) daraus ermittelt werden sollen, die Beziehungen gelten: \[ \begin{matrix} \l \\ r_{pq} = r_{qp}, \quad r_{pq} \not = 0, \quad |r_{pq} | < 1, \\ r_{pq} : r_{sq} = r_{pt} : r_{st} \end{matrix} \] für paarweise verschiedene Indices \(p, q, s, t\) (\textit{Spearman}sches Schema). Setzt man \[ r_{pq} = \varrho_p r_{1q}, \quad r_{12} = k \varrho_2, \] so ist \(k = \dfrac{r_{12}r_{13}}{r_{23}}\); ferner wird \[ r_1 = \sqrt {k} \quad (\text{bzw.} \quad r_1 = \sqrt {-k}), \quad r_1 \varrho_2 = r_2, \, r_1 \varrho_3 = r_3, \dots, \, r_1 \varrho_n = r_n \] gesetzt. Es wird nun die Existenz eines Vektorsystems \(\mathfrak x_1, \dots, \mathfrak x_n\) mit den vorgeschriebenen Korrelationskoeffizienten diskutiert. Unter anderm ergibt sich für \(r_1 \leqq 1, \, r_p < 1\) (\(p = 2,\dots, n\)), daß sich die \(\mathfrak x_\nu\) in der Form \[ \mathfrak x_\nu = r_\nu \varPhi + r^\prime_\nu \varPhi_\nu \] ausdrücken lassen, wobei \(\varPhi, \varPhi_1, \dots, \varPhi_n\) ein Orthogonalsystem bilden.\ \ (III 2, IV 16, V 7.)