An application of metric geometry to determinants. (Q571758)

\textit{H. W. Richmond} hat 1908 (F. d. M. 39, 716 (JFM 39.0716.*)) in Verbindung mit einer Untersuchung über Quadriken im \(R_5\) die folgende Vermutung ausgesprochen: Wenn in einer symmetrischen Determinante sechster Ordnung alle Elemente der Hauptdiagonale und fünf Hauptminoren fünfter Ordnung Null sind, so verschwindet auch der sechste Hauptminor fünfter Ordnung. \textit{B. Segre} hat 1925 (F. d. M. 51, 85 (JFM 51.0085.*)) untersucht, ob die analoge Aussage für Determinanten andrer gerader Ordnung gültig ist. Verf. zeigt, daß die \textit{Richmond}sche Vermutung weder für die Ordnung 4 noch für die Ordnung 6 noch für eine höhere gerade Ordnung gilt (vgl. dazu \textit{A. Colucci}, 1926; F. d. M. 52, 87 (JFM 52.0087.*)): In der Matrix \[ (a_{\varkappa \lambda}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] ist der zu \(a_{11}\) komplementäre Hauptminor gleich 2, während die übrigen Hauptminoren dritter Ordnung und die Elemente der Hauptdiagonale sämtlich Null sind. Durch fortgesetztes Rändern erhält man aus dieser Matrix symmetrische Matrizen mit sechs, acht, \dots Zeilen, für die ebenfalls die \textit{Richmond}sche Vermutung ungültig ist. Dann beweist Verf. den folgenden Satz: Wenn die symmetrische Determinante \[ \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & r_{12} & r_{13} & r_{14} \\ 1 & r_{21} & 0 & r_{23} & r_{24} \\ 1 & r_{31} & r_{32} & 0 & r_{34} \\ 1 & r_{41} & r_{42} & r_{43} & 0 \end{vmatrix} \qquad (r_{ik} = r_{ki}) \] mit positiven \(r_{ik}\) (\(i \neq k\); \(i, k = 1, 2, 3, 4\)) von Null verschieden ist, und wenn vier von den fünf Hauptminoren vierter Ordnung gleich Null sind, dann ist der fünfte von Null verschieden. Ferner zeigt Verf., daß eine den Bedingungen dieses Satzes genügende Matrix notwendig die Form \[ r_{12} = r_{34} = a^2, \quad r_{13} = r_{24} = b^2, \quad r_{14} = r_{23} = c^2 \] hat, wobei eine von den drei Zahlen \(a, b, c\) die Summe der beiden andern ist.