Bemerkungen zu einem Determinantensatz von Minkowski. (Q571771)

Verf. beweist in Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{R. Tambs Lyche} (1928 ; F. d. M. 54, 109), und zwar auf rein algebraischem Wege, den folgenden bemerkenswerten Determinantensatz: Ist \( A = (a_{\varkappa\lambda})\) eine Matrix \(n\)-ten Grades, deren sämtliche außerhalb der Hauptdiagonale stehenden Elemente nicht positiv sind, also \(a_{\varkappa\lambda} \leqq 0\) für \({\varkappa\not = \lambda}\) und kann man ferner \(n\) positive Größen \(p_1, p_2, \dots, p_n\) finden, so daß \[ \sum_{\lambda = 1}^n p_\lambda a_{\varkappa\lambda} \geqq 0 \qquad (\varkappa = 1,2,\dots, n) \] ist, so besitzt jede charakteristische Wurzel der Matrix \(A\) entweder einen positiven Realteil oder sie ist Null. Wenigstens eine der Wurzeln, und zwar diejenige mit dem kleinsten Realteil, ist reell. Verschwindet insbesondere keines der \(a_{\varkappa\lambda}\), so wird die charakteristische Funktion von \(A\) nur dann durch die Wurzel \(\omega = 0\) annulliert, wenn in der zweiten Bedingung überall \[ \sum_{\lambda =1 }^n p_\lambda a_{\varkappa\lambda} = 0 \qquad (\varkappa = 1,2,\dots, n) \] ist, also das Gleichheitszeichen steht. Der Beweis wird mit Hilfe eines vom Verf. nach \textit{I. Schur} in einfacher Weise hergeleiteten \textit{Minkowski}schen Satzes geführt, der darauf hinausläuft, daß die Determinante von \(A\) nicht negativ ist, wenn außer \(a_{\varkappa\lambda} \leqq 0\) für \({\varkappa\not = \lambda}\) noch \[ \sum_{\lambda =1 }^n a_{\varkappa\lambda} \geqq 0 \qquad (\varkappa = 1,2,\dots, n) \] ist, also die Größen \(p_\lambda\) sämtlich gleich 1 sind. Verf. bestimmt weiter in Form charakteristischer Funktionen von Matrizen die Gesamtheit aller Gleichungen, die nur Wurzeln mit nichtnegativem Realteil besitzen; er weist nämlich nach: Die charakteristischen Wurzeln einer Matrix \(n\)-ten Grades \(A = (a_{\varkappa\lambda})\) mit beliebigen Elementen besitzen sämtlich einen nicht negativen Realteil, wenn sich positive Größen \(p_1, p_2,\dots, p_n\) so angeben lassen, daß \[ \sum_{\lambda \not = \varkappa} p_\lambda |a_{\varkappa\lambda}| \leqq p_{\varkappa} \mathfrak R (a_{\varkappa \varkappa}) \qquad (\varkappa = 1,2,\dots, n) \] ist, wobei \(\mathfrak R (a_{\varkappa \varkappa})\) den Realteil von \(a_{\varkappa \varkappa}\) bedeutet.