The latent roots of a matrix of special type. (Q571775)

Ist \(A\) eine Matrix \(n\)-ten Grades mit den charakteristischen Wurzeln \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\) und \[ C=(f_{\varrho \sigma} (A)) \qquad (\varrho, \sigma = 1,2,\dots, m) \] eme Matrix \(m\)-ten Grades, deren \(m^2\) Elemente selbst Matrizen \(n\)-ten Grades sind, nämlich rationale Funktionen der Matrix \(A\) mit nichtsingulären Nennern, so sind die charakteristischen Wurzeln der Matrix \(C\) die \(n \cdot m\) charakteristischen Wurzeln der \(n\) Matrizen \[ (f_{\varrho \sigma} (\lambda_\nu )) \qquad (\nu =1,2,\dots, n) \] \(m\)-ten Grades. Es ist dies eine Verallgemeinerung des zuerst von \textit{Frobenius} bewiesenen Satzes, daß eine rationale Funktion \(f (A)\) einer Matrix \(A\) mit nicht singulärem Nenner die charakteristischen Wurzeln \[ (f (\lambda_\nu )) \qquad (\nu = 1,2,\dots, n) \] besitzt. Der oben angegebene Satz kann in einiger Hinsicht noch verallgemeinert werden; insbesondere gilt noch eine Verallgemeinerung für rationale Funktionen von mehreren, miteinander vertauschbaren Matrizen \(A, B, C, \cdots\).