Über rechteckige Matrizen, bei denen die Determinanten maximaler Reihenanzahl teilerfremd zu einem Modul sind. (Q571783)

Bei der Auflösung von Kongruenzsystemen nach einem Modul \(m\) spielen Matrizen eine bedeutende Rolle, deren Elemente Restklassen nach \(m\) sind. Diese Restklassen sind gewissen \textit{Stämmen} von Restklassen entnommen, deren genauere Definition aus \S\, l der Arbeit ersichtlich ist. Beispielsweise sind vollständiges und reduziertes Restsystem mod \(m\) Stämme. Eine rechteckige Matrix heißt vom \textit{Typus} \((r, s; m)\), wenn sie aus \(r\) Spalten und \(s\) Zeilen besteht und für \(t = min (r, s)\) alle \(t\)-reihigen Determinanten relativ prim zu \(m\) sind, dagegen von der \textit{Art} \((r, s; m)\), wenn überdies alle Unterdeterminanten zu \(m\) relativ prim sind. Verf. untersucht nun die Anzahlen \(\psi (r, s; m) = \psi (s, r; m)\) und \(\chi (r, s;m) = \chi (s, r; m)\) der mod \(m\) inkongruenten Matrizen vom \textit{Typus} bzw. von der Art \((r, s ; m)\). Es gilt für beide Funktionen \(\psi\) und \(\chi\) \[ f (r, s; m) = f (r, s; m^\prime ) f (r, s; m^{\prime\prime}), \] falls \(m = m^\prime m^{\prime\prime}\) und \(m^\prime, m^{\prime\prime}\) teilerfremd sind, und \[ f(r, s; p^\delta) = p^{rs} f(r, s; p^{\delta -1}). \] Daher kann man die Untersuchung auf Primzahlmoduln beschränken. Für das vollständige Restsystem mod \(m\) stehen die beiden Funktionen in der Beziehung: \[ \psi (r, s; m) = \psi (s, s; m) \chi (r-s,s;m). \] Für dieses Restsystem gilt: \[ \chi (t, 1; p) = (p-1)^t, \quad \chi(t,2; p) = (p-1)^t \left( p-1 \atop t \right) t!; \] weitere Formeln sind nicht bekannt.