Matrix differentiation of the characteristic function. (Q571790)

Verf. setzt in der vorliegenden Arbeit seine Untersuchungen über den \textit{Cayley}schen \(\varOmega\)- Operator \[ \varOmega \equiv \left[ \frac {\partial} {\partial x_{\varkappa \lambda}} \right] \qquad (\varkappa, \lambda =1,2,\dots,n) \] fort, den er aus Gründen der Analogie ``matrix differential operator'' nennt (vgl. dazu zwei frühere Arbeiten des Verf: 1928, 1930; F. d. M. 54, 111 (JFM 54.0111.*); \(56_{\text{I}}\), 104-105). Bezeichnet man die charakteristische Funktion \(| \lambda E - X |\) einer Matrix \(X = (x_{\varkappa \lambda}) \) \(n\)-ten Grades in unabhängigen Veränderlichen \(x_{\varkappa \lambda}\) mit \(\varphi (\lambda)\), so kann man \(\varphi (\lambda)\) als Polynom in \(\lambda\) folgendermaßen schreiben: \[ \varphi (\lambda) = p_0 \lambda^n + p_1 \lambda^{n-1} + \cdots + p_{n-1}\lambda + p_n, \] worin \(p_0 =1\) ist und die ändern \(p_\nu\), abgesehen vom Vorzeichen, die elementarsymmetrischen Funktionen der charakteristischen Wurzeln der Matrix \(X\) sind. Ebenso kann man die Funktion \(\psi (\lambda) = \dfrac 1{\varphi (\lambda)}\) nach \(\lambda\) in eine Reihe entwickeln: \[ \psi (\lambda) = \frac {h_0}{\lambda^n} + \frac {h_1}{\lambda^{n+1}} + \cdots ; \] dabei sind die \(h_\nu\) die sogenannten \textit{Wronski}schen Funktionen der charakteristischen Wurzeln von \(X\). Es gelten dann folgende Beziehungen: \[ \begin{matrix} P_r = X^r + p_1X^{r-1} + \cdots + p_{r-1} X + p_rE= - \varOmega p_{r+1}, \\ H_r = X^r + h_1X^{r-1} + \cdots + h_{r-1} X + h_rE= \varOmega h_{r+1}. \end{matrix} \] Diese Gleichungen zeigen insbesondere, daß man die Potenzen der Matrix \(X\) aus den Funktionen \(p_\nu, h_\nu\) vermittels des \(\varOmega\)-Prozesses erzeugen kann. Die Iterierung des \( \varOmega\)-Prozesses führt auf die beiden Differentialgleichungen: \[ \begin{matrix} \varOmega^2p_{r+1} = (n-r) \varOmega p_r, \\ \varOmega^2 h_{r+1} =(n+r) \varOmega h_r. \end{matrix} \] Als eine weitere Verallgemeinerung dieser Iterierung kann man skalare ``Potenzreihen'' in \( \varOmega\) einführen, also Prozesse der Gestalt \[ a_1 \varOmega + a_2 \varOmega^2 + \cdots \] in abbrechender oder unendlicher Folge der Glieder; jede Potenzreihe \[ f(X) = \alpha_0 E + \alpha_1 X + \alpha_2X^2 + \cdots \] mit skalaren Koeffizienten \( \alpha_\nu\) kann durch einen passend gewählten Operator dieser Gestalt aus der Funktion \(p_n\) erhalten werden. Schließlich wird noch der Zusammenhang dieser Prozesse mit der Invariantentheorie kurz gestreift. \ \ (III 4.)