Neue Grundlagen für einen Infinitesimalkalkül der Matrizen. (Q571792)

Die Arbeit gibt einen einheitlichen Aufbau der Theorie des Produktintegrals, wie es vom Verf. im Anschluß an \textit{Volterra} früher eingeführt wurde, und das zur Lösungsmatrix eines linearen homogenen Differentialsystems mit stetigen Koeffizienten eine ähnliche Stellung einnimmt, wie das \textit{Riemann}sche Integral zum \textit{Euler}schen Integral einer stetigen Funktion. Zunächst wird als ``Betrag'' einer Matrix \(A = (a_{jk})\) der Wert \(n \cdot \) Max \( | a_{jk} |\) eingeführt und die Stellung dieses Begriffs zu ändern üblichen Betragdefinitionen untersucht. Dann wird \[ \int\limits_p^{r \atop \frown} E + A(x) \, dx \] als \[ \lim_{m \to \infty} \prod_{\nu = 1}^m E + (x_\nu - x_{\nu - 1} ) A(\xi_{\nu - 1}) \qquad (x_0 = p, \, x_m = r, \, x_{\nu - 1} \leqq \xi_{\nu -1} \leqq x_\nu) \] (\(E\) Einheitsmatrix) für eine beliebige ausgezeichnete Zerlegungsfolge erklärt. Mit Hilfe des speziellen Produktintegrals \[ \int\limits_p^{x \atop \frown} E + A \, dx= e^{xA} \] (\(A\) konstante Matrix) erhält man die andere Darstellung \[ \int\limits_p^{x \atop \frown} E + A(x) \, dx = \lim_{m \to \infty} \prod_{h=1}^m \text{ exp }\{(x_h - x_{h-1}) A (\xi_{h-1})\}, \] die die Analogie mit dem \textit{Riemann}schen Integral besonders deutlich macht. Hieran schließt sich die Gewinnung der \textit{Jacobi}schen Formel \[ \text{ Det } \left| \int\limits_p^{x \atop \frown} E + A\, dx \right| = \text{ exp } \int\limits_p^{x \atop \frown} \text{ Sp }A\, dx, \] die hier ohne Voraussetzung der Stetigkeit von \(A(x)\) (bzw. der Differenzierbarkeit des Produktintegrals) lediglich aus der \(R\)-Integrierbarkeit erschlossen wird. Ist \(A (x)\) stetig, so stellt \[ Y(x) = \int\limits_p^{x \atop \frown} E+ A \, dx \] eine Integralmatrix des Differentialsystems \[ \frac {dY}{dx} = Y A \tag{*} \] vor, die adjungierte (\(=\) komplementäre) Matrix eine solche für das adjungierte Differentialsystem \(\dfrac {dZ}{dx} = - Z A_{\text{ transp}}\). Es werden Differentiations- sowie Abschätzungsformeln entwickelt, welch letztere hauptsächlich dem Vergleich der Produktintegrale von Matrizen \(A, B\) mit kleinem Betrag von \(A - B\) dienen. Endlich wird das Produktintegral auf Matrizen mit \(L\)-integrierbaren Elementen übertragen, und zwar ist es die \textit{F. Riesz}sche Definition des \(L\)-Integrals mittels Approximation des Integranden durch Treppenfunktionen (Acta Math. 42 (1919), 191-205; F. d. M. 47, 229 (JFM 47.0229.*)), die sich als auf Matrizen übertragbar erweist. \(Y\) befriedigt dann fast überall das Differentialsystem (*). Das entspricht einer Auffassung dieses letzteren, wie sie ähnlich von \textit{Carathéodory } (Reelle Funktionen (1918; F. d. M. 46, 376 (JFM 46.0376.*)-380), S. 665-688) für beliebige gewöhnliche Differentialsysteme eingeführt worden ist. \ \ (IV 3 C, 7, 9.)