Untersuchungen zum Hilbertschen Irreduzibilitätssatz. (Q571815)

Es wird untersucht, in welchen Körpern \(K\) der \textit{Hilbert}sche Irreduzibilitätssatz gilt, wann also bei irreduziblem \(f (x, t)\) in \(K[x, t]\) unendlich viele \(f (x, t_0)\) mit \(t_0\) aus \(K\) irreduzibel in \(K[x]\) sind. Es scheiden von vornherein aus: abgeschlossene Körper, endliche Körper, der Körper der \(p\)-adischen Zahlen u. a. Notwendig und hinreichend für die Gültigkeit ist: Hat \(g (x, t)\) keine Nullstelle in \(K (t)\), so auch \(g (x, t_0)\) für unendlich viele \(t_0\) keine in \(K\). Die Gültigkeit überträgt sich auf jede Erweiterung erster Art. Für rein transzendente Erweiterungen unendlicher Körper gilt der Irreduzibilitätssatz stets. Für mehrere Variable \(t_1, \dots, t_s\) gilt der Irreduzibilitätssatz über \(K\), wenn für eine Variable \(t\), und zwar ist dann eine \(s\)-fache Schar von Spezialisierungen der \(t_1, \dots, t_s\) möglich.