Affektlose Gleichungen in der Theorie der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome. (Q571820)

Verf. setzt seine Untersuchungen aus [Sitzungsber. Akad. Berlin 1930, 443--449 (1930; JFM 56.0110.02)] fort und beweist mit ähnlichen Hilfsmitteln wie dort über das Auftreten der symmetrischen bzw. alternierenden Permutationsgruppe als galoisscher Gruppe von ganzzahligen Gleichungen die folgenden Sätze: Die Gleichung \[ I_n = \frac 1x \int_0^x L_n \, dx = \sum_{\nu = 0}^n \binom{n}{\nu} \frac{(-x)^\nu}{(\nu + 1)!} = 0, \] wobei \[ L_n = \frac{e^x}{n!} \frac{d^n (x^n e^{-x})}{dx^n} = \sum_{\nu = 0}^n \binom{n}{\nu} \frac{(-x)^\nu} {\nu!} \] das Laguerresche Polynom bedeutet, hat, wenn \(n\) eine ungerade Zahl ist, oder bei geradem \(n\), wenn \(n + 1\) eine Quadratzahl ist, die alternierende Permutationsgruppe zur galoisschen Gruppe; in allen anderen Fällen ist die Gleichung affektlos. Leitet man aus dem \(m\)-ten Hermiteschen Polynom \[ H_m(x) = (-1)^m e^{\tfrac {x^2}2} \frac {d^m e^{-\tfrac {x^2}2}}{dx^m} = \sum_{\mu = 0}^{ \left[\tfrac m2 \right]} (-1)^\mu \binom{m}{2\mu} 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2\mu -1) x^{m - 2\mu} \] die Funktionen \[ H_{2n} (x) = K^{(0)}_n (x^2), \quad H_{2n+1} (x) = xK^{(1)}_n (x^2) \] ab, so sind für \(n > 12 \) die Gleichungen \(K^{(0)}_n (x) = 0\), \(K^{(1)}_n (x) = 0\) affektlos. Verf. vermutet, daß auch die Gleichungen der Gradzahlen \(n \le 12\) die Eigenschaft der Affektlosigkeit besitzen, was ihm aber bisher nach seiner Angabe nur, falls \(n \le 7\), zu beweisen gelungen ist. Durch die vorliegende Arbeit kennt man nunmehr in den Gleichungen \(I_{2k+1} = 0\) neben den vom Verf. früher gefundenen Gleichungen \((4k)\)-ten Grades, die sich als Abschnitte der Exponentialreihe ergeben (vgl. die in JFM 56.0110.02 besprochene Arbeit des Verf.), auch noch Gleichungen \((2k+1)\)-ten Grades mit der alternierenden Permutationsgruppe als galoisscher Gruppe. \ \ (IV 6 A.)