On the roots of certain algebraic equations. (Q571830)

Jedes Polynom der Gestalt: \[ f (x) = 1 + \varepsilon_1x + \varepsilon_2x^2 + \cdots + \varepsilon_nx^n \] mit Koeffizienten \(\varepsilon_1 = -1, 0, 1 \) besitzt eine gewisse Anzahl von reellen Nullstellen in dem offenen Intervall \(0 < x < 1\), die von Null bis \(n\) variieren kann; \(P_n\) sei die Maximalzahl dieser Anzahlen, wenn man alle Polynome der geschilderten Art vom Grade \(n\) betrachtet. Es gilt dann für \(n > 3\) folgende Abschätzung von \(P_n\): \[ \frac 1A \frac {n^{\tfrac 14}}{(\log n)^{\tfrac 12}} < P_n < A \frac {n \log \log n}{\log n} \] mit einer gewissen positiven Konstante \(A\). Die Abschätzung nach oben wird aus einem allgemeineren Satze erhalten, der folgendes besagt: Genügen die Koeffizienten des (reellen) Polynoms \[ f (x) = a_0x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n \] den Bedingungen \[ a_{\nu}^2 \leqq 1 \quad (\nu = 0,1, 2,\dots, n), \quad a_0^2 \geqq \alpha, \quad a_n^2 \geqq \alpha, \] so gibt es für jedes \(\alpha\) aus dem Intervall \(0 < \alpha < 1\) eine positive Konstante \(A\), so daß die Anzahl \(R_n\) der reellen Wurzeln von \(f (x)\) für \(n \geqq 3\) der Ungleichung genügt: \[ R_n < A \frac {n \log \log n}{\log n}. \] Diese Abschätzungen sind inzwischen durch \textit{I. Schur} und \textit{Erhard Schmidt} verbessert worden.