Einige Sätze über endliche Gruppen. (Q571903)

\(\mathfrak G\) sei eine endliche Gruppe, \(p\) eine in der Ordnung von \(\mathfrak G\) aufgehende Primzahl. \newline (1) Die Anzahl der Normalteiler vom Index \(p\) in \(\mathfrak G\) ist von der Form \[ \frac{p^\alpha - 1}{p-1} \qquad (\alpha = 0, 1, 2, \dots). \] (2) Die Anzahl der Normalteiler vom Index \(p^2\) mit einer Faktorgruppe vom Typus \((p, p)\) ist von der Form \[ \frac{(p^\alpha - 1)(p^{\alpha-1} - 1)}{(p-1)(p^2-1)}. \] (3) Die Anzahl der Normalteiler vom Index \(p^2\) mit einer Faktorgruppe vom Typus \((p^2)\) ist von der Form \[ \frac{(p^\alpha - 1)(p^\beta - 1)}{p-1} \quad \text{ mit } \quad \beta \leqq \alpha. \] Die Beweise für diese drei Behauptungen sind durchaus elementar; sie stützen sich auf die hier sehr einfache Struktur des Durchschnitts aller Normalteiler mit den in (1), (2), (3) charakterisierten Eigenschaften.