Généralisation du théorème de Frobenius. (Q571905)

Ein wohlbekannter Satz von \textit{Frobenius} lautet: Wenn \(n\) ein Teiler der Ordnung einer gegebenen Gruppe ist, dann ist die Anzahl der Elemente in dieser Gruppe, deren Ordnungen Teiler von \(n\) sind, ein Vielfaches von \(n\). Zu diesem Satz hat \textit{L. Weisner} ein Gegenstück bewiesen (1925; F. d. M. 51, 112 (JFM 51.0112.*)): In einer Gruppe der Ordnung \(g\) ist die Anzahl der Elemente, deren Ordnung ein Vielfaches von \(m\) ist, ein Vielfaches des größten zu \(m\) teilerfremden Teilers von \(g\) (speziell eventuell Null). \textit{A. Kulakoff} hat die weitergehende Vermutung aufgestellt (in der beide Sätze offenbar als Spezialfälle enthalten sind): Ist \(n\) ein Teiler der Ordnung einer gegebenen Gruppe und \(m\) ein Teiler von \(n\), so ist die Anzahl der Elemente der Gruppe, deren Ordnungen Teiler von \(n\) und Vielfache von \(m\) sind, ein Vielfaches des größten zu \(m\) teilerfremden Teilers von \(n\) (speziell eventuell Null). Die Richtigkeit dieser Vermutung beweist Verf. durch eine einfache Abzählung unter Benutzung des genannten Satzes von \textit{Frobenius}.