Groups generated by two operators whose squares are invariant. (Q571913)

Die endliche Gruppe \(\mathfrak G\) lasse sich durch zwei ihrer Elemente, deren Quadrate invariant sind, erzeugen. Dann ist sie entweder abelsch und das Produkt von höchstens zwei Zyklen, oder sie enthält eine abelsche Untergruppe \(\mathfrak H\) vom Index 2; in diesem Fall ist \(\mathfrak H\) das Produkt von höchstens drei Zyklen, und die Ordnung von \(\mathfrak H\) ist größer als 2. Umgekehrt läßt sich natürlich eine abelsche Gruppe, die Produkt von höchstens zwei Zyklen ist, durch zwei ihrer Elemente erzeugen, deren Quadrate invariant sind; und eine abelsche Gruppe \(\mathfrak H\), die das Produkt von höchstens drei Zyklen ist, ist als Untergruppe vom Index 2 in einer Gruppe \(\mathfrak G\) enthalten, die sich durch zwei Elemente mit invarianten Quadraten erzeugen läßt. Verf. berechnet die Anzahl der Gruppen \(\mathfrak G\), die eine vorgegebene Gruppe \(\mathfrak H\) enthalten. Beispiele für die diskutierten Gruppen sind die Diedergruppen. Schließlich wird noch der Satz bewiesen: Eine abelsche Gruppe läßt sich dann und nur dann durch das Produkt zweier Elemente und ihre Quadrate erzeugen, wenn ihre \textit{Sylow}gruppen von der Ordnung \(2^m\) zyklisch und die andern \textit{Sylow}gruppen Produkte von höchstens zwei Zyklen sind.