Groupes topologiques, groupes fuchsiens, groupes libres. (Q571929)

Mit Hilfe einfacher Betrachtungen aus der Theorie der \textit{Riemann}schen Flächen und der \textit{Fuchs}schen Gruppen werden einige Sätze aus der Theorie der diskontinuierlichen Gruppen neuartig bewiesen: (1) Hat eine Gruppe die Erzeugenden \(A_1, \dots, A_p, B_1, \dots, B_p\) und die einzige definierende Relation \[ A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1} \cdots A_p B_p A_p^{-1} B_p^{-1} = 1, \] so hat jede Untergruppe vom endlichen Index \(n\) die gleiche Struktur, mit \(n (p - 1) + 1\) an Stelle von \(p\). (2) Hat eine freie Gruppe \(q\) Erzeugende, so ist jede Untergruppe vom endlichen Index \(n\) frei von \(n (q - 1) + 1\) Erzeugenden. (3) Hat eine Gruppe die Erzeugenden \(A_1, \dots, A_p\), \(B_1, \dots, B_p\), \(C_1, \dots, C_q\) und die definierenden Relationen: \[ C_1 C_2 \cdots C_q \cdot A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1} \cdots A_p B_p A_p^{-1} B_p^{-1} = 1, \quad C_1^{n_1} = 1, \dots, C_q^{n_q} = 1 \] (\textit{Fuchs}sche Gruppe erster Art), so hat jede Untergruppe von endlichem Index die gleiche Struktur, ist also auch eine \textit{Fuchs}sche Gruppe erster Art. Für diesen letzten Satz wird ein Beweis nicht angegeben.