Über das Hurwitzsche Problem der Bestimmung der Anzahl Riemannscher Flächen von gegebener Verzweigungsart. (Q571930)

Das \textit{Hurwitz}sche Problem läßt sich gruppentheoretisch so formulieren: Es ist die Anzahl \(N\) der Lösungen der Gleichung \[ s_1 s_2 \dots s_w = e \] zu finden, wo die \(s_i\) Elemente aus vorgeschriebenen Ähnlichkeitsklassen \(\mathfrak k_i\) der symmetrischen Gruppe der Permutationen von \(n\) Symbolen sind. Verf. verallgemeinert die Fragestellung, indem er an die Stelle der symmetrischen Gruppe eine beliebige abstrakte Gruppe und an die Stelle des Einheitselements in der genannten Gleichung ein beliebiges Element \(s\) setzt, und dann nach der Anzahl der Lösungen \(N_s\) fragt. Aus den primitiven Charakteren der Gruppe läßt sich diese Anzahl berechnen. Für den Spezialfall der symmetrischen Gruppe bestimmt Verf. die gesuchten Anzahlen simultan als Koeffizienten einer angebbaren erzeugenden Funktion \(F\). Beschränkt man sich auf die Fälle, die auf zusammenhängende \textit{Riemann}sche Flächen führen, d. h. auf solche Lösungen \(s_1, \dots, s_w\), die eine transitive Gruppe erzeugen, so gelangt man zu einer andern erzeugenden Funktion \(\varPhi\), deren Koeffizienten diese gesuchten Anzahlen angeben. Zwischen den beiden erzeugenden Funktionen \(F\) und \(\varPhi\) besteht ein einfacher Zusammenhang: \(\varPhi\) entsteht aus \(F\) durch formelles Logarithmieren; es ist formell \[ F = e^{\varPhi}. \] An zwei Beispielen wird die Anwendbarkeit der gewonnenen Formeln demonstriert. \ \ (V 2.)