Beiträge zur Gruppentheorie. I: Über eine Gruppenmetrik. (Q571933)

Um in einer (additiven) abelschen Gruppe \(G\) eine Art einfacher Geometrie treiben zu können, ordnet Verf. je zwei Gruppenelementen \(a\), \(b\) das (ungeordnete) Paar \((a - b, b - a)\) zu, das Abstand von \(a\) und \(b\) genannt und mit \(ab\) bezeichnet wird. Jenes eindeutig bestimmte Element \(b^\prime\) von \(G\), das von \(a\) denselben Abstand hat wie \(b\), heißt das Spiegelbild von \(b\) an \(a\), und die Zuordnung \(b \to b^\prime\) Spiegelung; die Abbildung \(x \to x + t\), wo \(x\) variabel in \(G\) und \(t\) konstant, heißt Translation; schließlich heißen zwei Elementepaare \(a, b\) und \(a^\prime, b^\prime\) mit gleichen Abständen \(ab = a^\prime b^\prime\) kongruent und dementsprechend jede Selbstabbildung von \(G\), die jedes Elementepaar in ein kongruentes überführt, eine Kongruenz. Es gilt der Satz: Je zwei kongruente Elementepaare können durch eine Kongruenz von ganz \(G\) ineinander übergeführt werden; jede Kongruenz ist eine Translation oder eine Translation plus Spiegelung. Eine Menge \(M\) beliebiger Elemente heißt \(G\)-metrisch, wenn je zwei Elementen \(p, q\) aus \(M\) ein Paar \((a, -a)\) inverser Elemente aus \(G\) als ``Abstand'' \(pq\) zugeordnet ist. Eine zweite \(G\)-metrische Menge \(M^\prime\) heißt kongruent zu \(M\), wenn eine abstandstreue Abbildung \(M \to M^\prime\) existiert. Es gilt der Satz: Eine \(G\)-metrische Menge, in der jedes Elementquadrupel mit einem Quadrupel aus \(G\) kongruent ist, ist mit einer Teilmenge von \(G\) kongruent. Enthält \(G\) keine Elemente der Ordnungen 2 und 3, so ist eine mindestens fünfpunktige \(G\)-metrische Menge \(M\) bereits dann mit einer Teilmenge von \(G\) kongruent, wenn dies für jedes Tripel aus \(M\) gilt. Enthält \(M\) genau vier Elemente, so genügt die Tripelkongruenz nicht zur Kongruenz von ganz \(M\) mit einer Teilmenge von \(G\) (Pseudo-\(G\)-Quadrupel). Verf. und \textit{O. Taussky} geben notwendige und hinreichende Bedingungen an, wann ein \(G\)-metrisches Quadrupel ein Pseudo-\(G\)-Quadrupel ist.