Über die Kommutativität endlicher Schiefkörper. (Q571950)

Der Satz von \textit{Wedderburn}, welcher besagt, daß im endlichen Schiefkörper das kommutative Gesetz der Multiplikation gilt, wurde bereits von \textit{Wedderburn} selbst, \textit{Dickson, Artin} und \textit{R. Brauer} bewiesen. Verf. liefert hier eine weitgehende Vereinfachung des \textit{Wedderburn}schen Ansatzes, die unter Benutzung folgender Eigenschaften der \(n\)-ten Kreisteilungsfunktion \(\varPhi_n\) gelingt: Für \(q \geqq 2\) gilt \[ |\varPhi_n(q)| \geqq q-1, \quad |\varPhi_n(q)| = q - 1 \;\text{ nur für } \;n = 1. \] Die Elemente des Schiefkörpers, aufgefaßt als eine Algebra der Ordnung \(n\) über seinem Zentrum, bilden, wenn man die Null wegläßt, eine multiplikative Gruppe \(G\) der Ordnung \(q^n - 1\), wenn \(q - 1\) die Ordnung des Zentrums \(Z\) ist. Die Einteilung in Klassen konjugierter Elemente liefert die Relation: \[ q^n - 1 = q-1 +\sum \frac{q^n-1}{q^d - 1}. \] Da hier \(d\) echter Teiler von \(n\) ist, so ist \(q - 1\) durch \(|\varPhi_n(q)|\) teilbar, folgt \(n = 1\), d. h. \(Z = G\).