Ideal multiplication in a linear algebra. (Q571975)

\textit{C. C. MacDuffee} hat 1929 (F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 683) die Idealtheorie von Integritätsbereichen in hyperkomplexen Systemen über dem rationalen Zahlkörper durch Übergang zur regulären Matrizendarstellung entwickeln können. Die dort auftretende Lücke, das Fehlen einer entsprechenden Behandlung der Multiplikation von Idealen, soll hier ausgefüllt werden. Ist \(\mathfrak A\) ein halbeinfaches System der Ordnung \(n\) über dem rationalen Zahlkörper, so kann mit Hilfe einer Basis \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n\) und der zu ihr gehörenden Multiplikation eine reguläre Darstellung von \(\mathfrak A\) in der bekannten Weise erzeugt werden. Ist nun \(\mathfrak a = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\) ein Linksideal in einem Integritätsbereich \(\mathfrak S\) ganzer Elemente aus \(\mathfrak A\), so wird diesem durch \[ \alpha_\varkappa = \sum_\lambda g_{\varkappa \lambda} \varepsilon_\lambda \qquad (\varkappa, \lambda = 1, 2, \dots, n) \] eine Matrix \(G_{\mathfrak a} = (g_{\varkappa \lambda})\), die Idealmatrix, zugeordnet. Der Übergang zu einer andern Idealbasis führt \(G_{\mathfrak a}\) über in \(G_{\mathfrak a}^\prime = AG_{\mathfrak a}\) mit unimodularem \(A\). Somit ist jedem Linksideal \(\mathfrak a\) in \(\mathfrak S\) eine wohlbestimmte Menge von Matrizen zugeordnet, von denen jede das Ideal eindeutig bestimmt. Definiert man nun das Produkt zweier Linksideale \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) als die Menge aller Größen \[ \delta = \sum_{\varkappa, \lambda}^{1\cdots n} d_{\varkappa \lambda} \alpha_\varkappa \beta_\lambda \] mit ganzen \(d_{\varkappa \lambda}\), so kann die Menge der diesem Ideal entsprechenden Matrizen aus denen von \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) mit Hilfe der regulären Darstellung von \(\mathfrak A\) genau angegeben werden. Damit ist die Idealtheorie vollkommen in den Bereich der Matrizen mit ganzzahligen Elementen übergeleitet. Entsprechendes gilt für die Rechtsideale und zweiseitigen Ideale.