Linear equations in non-commutative fields. (Q571980)

Lineare Gleichungen in Schiefkörpern sind schon mehrfach behandelt worden; \textit{Study} (1918; F. d. M. 46, 144 (JFM 46.0144.*)) beschränkt aber seine Untersuchungen auf Quaternionen, \textit{A. R. Richardson} (1928; F. d. M. 54, 161 (JFM 54.0161.*)) auf Divisionsalgebren, während \textit{Heyting} (1927; F. d. M. 53, 120 (JFM 53.0120.*)) seine Untersuchungen wohl in voller Allgemeinheit führt, seine Definition der ``Designante'', die die Determinante vertritt, durch die notwendigen Fallunterscheidungen aber ziemliche Schwierigkeiten mit sich bringt. Verf. definiert, um volle Allgemeinheit zu erhalten, reguläre Ringe, d. h. Ringe ohne Nullteiler mit Einselement, in denen je zwei Elemente gemeinsame Vielfache besitzen. Sie sind eine natürliche Verallgemeinerung der Integritätsbereiche, sie besitzen wie diese einen Quotientenschiefkörper. In einem solchen Ringe kann nun durch Induktion eine rechts- (links-)seitige Determinante eines beliebigen Grades definiert werden, wobei allerdings ein rechts-(links-)seitiger Faktor unbestimmt bleibt. Die wesentlichen Eigenschaften dieser Determinanten werden kurz hergeleitet. Die Anwendung auf links- oder rechtsseitige Systeme von \(n\) linearen Gleichungen in \(n\) Unbestimmten führt auf eine direkte Übertragung der bekannten Tatsachen in kommutativen Bereichen. Zum Schluß wird noch auf die Anwendungsfähigkeit dieser Untersuchungen auf das Studium von Matrizen mit Elementen aus regulären Ringen und Schiefkörpern aufmerksam gemacht.