Einführung in die Zahlentheorie. Übersetzt von E. Bodewig (Q572027)

Deutsche Übersetzung des Buches ``Introduction to the theory of numbers'' des Verf. (1929; JFM 55.0092.19). Es ist ein besonderer Vorzug dieser Darstellung der elementaren Zahlentheorie, auf kleinstem Raume eine reichhaltige und vielseitige Einführung in ihre Probleme und Lösungsmethoden zu bringen. Dies gelingt einerseits durch die geschickte Auswahl und knappe, aber trotzdem deutliche Darstellung der wichtigsten Ergebnisse, andrerseits dadurch, daß die Beweise vieler zwar wissenswerter, aber weniger grundlegender Tatsachen dem Leser als Übungsaufgabe gestellt werden. Neben diesen Aufgaben, die der stofflichen Ergänzung dienen, finden sich zahlreiche Übungsaufgaben im eigentlichen Sinne, deren Zweck es ist, den Leser im Gebrauch zahlentheoretischer Methoden gewandt zu machen. Kap. I \ bringt Teilbarkeitssätze, Kap. II \ die Theorie der Kongruenzen. Hier findet sich unter anderem eine Darstellung der Theorie der Restpolynome und Restkongruenzen. Kap. III \ handelt von den quadratischen Resten und dem Reziprozitätsgesetz (dritter Gaußscher Beweis). Diese drei Kapitel umfassen etwa ein Fünftel des Buches. Von den restlichen vier Fünfteln (Kap. IV--XI) sind die Kapitel mit gerader Nummer den diophantischen Gleichungen, die mit ungerader Nummer den quadratischen Formen gewidmet. Dieses Abwechseln im Stoff erscheint weniger durch den logischen Aufbau geboten als durch das Bestreben, nicht zu ermüden. Die Darstellung beider Gebiete verdient besonderes Interesse, da sie sehr reichhaltig und weitgehend ist. So enthält sie viele Resultate aus Arbeiten des Verf. und seiner Schüler und führt bis zu den neuesten Ergebnissen von Thue und Siegel über diophantische Gleichungen. Im einzelnen ist zu bemerken: Kap. V \ bringt zuerst allgemeine Grundbegriffe der Theorie der binären quadratischen Formen, deren Koeffizienten übrigens nur als reell, nicht als ganzzahlig vorausgesetzt werden. Es folgt die Äquivalenz- und Darstellungstheorie für positiv definite Formen einschließlich der Grundzüge der Theorie der Formencharaktere und Genera. Verf. zeigt hier unter anderem, wie man die Diskriminanten \(-\varDelta\) auffinden kann, für welche jedes Genus nur eine einzige Klasse besitzt; er gibt eine Tafel dieser Diskriminanten und der zugehörigen reduzierten, positiven, primitiven Formen für \(\varDelta < 400\). Kap. VII \ behandelt indefinite binäre quadratische Formen, wobei sich auch das Wichtigste über Kettenbrüche und Pellsche Gleichung ergibt. In Kap. IX \ wird die Komposition der Formen erklärt und die Theorie der Genera fortgeführt. Kap. XI \ endlich bringt zwei Sätze von Markoff über Minima reeller indefiniter binärer quadratischer Formen mit Beweisen des Verf. Das erste der Kapitel über diophantische Gleichungen (Kap. IV) ist elementaren Problemen gewidmet. Neben älteren Aufgaben enthält es eine ausführliche Darstellung aller bekannten und einiger neuen Ergebnisse über Systeme von \(n\) ganzen Zahlen, die in ihren ersten \(m\) Potenzsummen übereinstimmen. Das kurze Kap. VI \ behandelt die Gleichungen \[ x^2 - my^2 = zw, \quad ax^2 + bxy + cy^2 = zw, \quad ax^2 - my^2 = z^3 \] mit Methoden, die der in Kap. V \ entwickelten Formentheorie entnommen sind. In Kap. VIII \ wird die Gleichung \[ ax^2 + by^2 + cz^2 = 0 \] ausführlich diskutiert. Kap. X \ enthält die bekannten Sätze von Thue und Siegel über diophantische Gleichungen, die höchstens endlich viele Lösungen haben können. Die Beweise, denen einige Bemerkungen über lineare Unabhängigkeit und Irreduzibilität vorausgeschickt werden, folgen der Darstellung, die \textit{E. Landau} in Band III seiner Zahlentheorie [Leipzig: S. Hirzel (1927; JFM 53.0123.17)] von dem Siegelschen Beweise gegeben hat. Als Anwendung der Thue-Siegelschen Sätze wird bewiesen, daß, wenn \(a, b, c, d\) ganze Zahlen mit \(a\neq 0\), \(d\neq 0\), \(b^2 - 4ac \neq 0\), \(n \geq 3\) sind, die Gleichung \[ aY^2 + bY + c = dx^n \] nur endlich viele ganzzahlige Lösungen besitzt. Hierzu wird noch ein bekannter Satz über die Approximation einer reellen Zahl durch rationale benötigt, dessen Beweis vorausgeschickt wird. Durch zahlreiche Literaturhinweise wird zu weiterem Studium der behandelten Gebiete angeregt. Das Buch ist klar geschrieben und im allgemeinen angenehm lesbar; einige Stellen erregten allerdings bei der Ref. ein sprachlich-logisches Mißbehagen, z. B. auf S. 144: ``Wenn \(D > 0\) kein Quadrat ist, so hat \(\dots\) die \textit{Pell}sche Gleichung \(\dots\) unendlich viele ganzzahlige Lösungen. Dies ist um so bemerkenswerter, als es in Gegensatz zu einem allgemeinen Satze von Thue steht \dots'', oder auf S. 164: ``Eine quadratische Funktion zu einer \(n\)-ten Potenz zu machen''. Einige Druckfehler in Zahlen wie im Texte könnten ebenfalls beseitigt werden, z. B. wird von der positiv definiten Form \[ q = ax^2 + bxy + cy^2 \] auf S. 65 behauptet, sie stelle nur endlich viele ganze Zahlen \(\leqq p\) dar, was zweifellos richtig, aber trivial ist; gemeint ist aber nach dem Vorangehenden, daß nur endlich viele Zahlenpaare \(x, y\) der Form \(q\) einen Zahlenwert \(\leqq p\) erteilen. Weitere Besprechungen: L. Kalmár; Acta Szeged 5 (1932), 262. L. Bieberbach; Jahresbericht D. M. V. 41 (1932), 54 kursiv. D.; Nieuw Archief (2) \(17_2\) (1932), 186-187.